Размерность броуновского движения без самопересечений.

Интерпретировав некоторые известные соотношения (они приведены в главе 36) в том смысле, что размерность случайного блуждания без самопересечений составляет 4/3, я предполагаю, что это верно и для броуновского движения без самопересечений.

Эмпирическая проверка этого предположения дает замечательную возможность проверить заодно и соотношение между длиной и площадью, полученное в главе 12. Плоскость покрывается квадратными решетками (с каждым разом все более частыми), а мы считаем количество квадратов со стороной С, пересекаемых а) оболочкой — получается С-площадь — и б) ее границей — получается С-длина. Графики зависимости С-длины от С-площади в двойном логарифмическом масштабе оказываются замечательно прямыми, причем их угловые коэффициенты практически совпадают с Б/2 = (4/3)/2 = 2/3.

Сходство между кривыми на рис. 341 и 325 — и между их размерностями — также заслуживает упоминания.

Замечание. Наибольшие открытые области на рис. 341, которую В (£) не посещает, показаны серым цветом. Их можно рассматривать как тремы, ограниченные фрактальными кривыми; следовательно, петля представляет собой сеть — в том смысле, который мы вкладывали в этот термин в главе 14.

< Возникает вопрос: чем же является петля с точки зрения степени ветвления — салфеткой или ковром? Я предполагаю, что верно последнее, так как броуновские сети удовлетворяют свойству Уайберна, описанному на с. 201. Это предположение подтверждается и в статье Какутани и Тонглинга (пока неопубликованной). Следовательно, броуновский след также можно считать универсальной кривой в смысле, определенном на с. 209. ►

26 о СЛУЧАЙНЫЕ КРИВЫЕ СРЕДИННОГО СМЕЩЕНИЯ

Повествование, продолжаемое в этой главе, имеет логическое начало в середине предыдущей главы, сразу после раздела о генерации броуновского движения посредством рандомизации кривой Пеано.

Напомним, что /с-й терагон броуновской функции В (£) прямолинеен между двумя последовательными моментами времени вида Югк, а (к + 1)-й терагон получается посредством случайного смещения средних точек сторон к-то терагона. То же относится и к терагонам Хк (£) и 1^ ({) координатных процессов X (£) и У ({) функции В ({).