< Броуновское нуль-множество образует простейшую пыль Леви, т. е. случайную канторову пыль с размерностью £> = 1/2. Таким же образом можно получить и пыль любой другой размерности £) в интервале

между 0 и 1, нужно только взять нули другой случайной функции. С помощью этой модели можно даже определить фрактальную размерность телефонного канала. Точность значений £> зависит от точности измерения характеристик моделируемого функцией физического процесса. ►

Рис. 340 и 341. БРОУНОВСКИЕ ОБОЛОЧКИ / ОСТРОВА; БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ БЕЗ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЙ

Броуновская петля. Под этим термином я подразумеваю след, покрываемый за некоторое конечное время АЬ плоским броуновским движением, возвращающимся к своей исходной точке. Этот след представляет собой случайную кривую Пеано, длина инициатора которой равна нулю.

Рис. 341. Броуновская оболочка. Будучи (почти наверное) ограниченной, броуновская петля разбивает плоскость на две области: внешнюю, любая точка которой может быть соединена с некой отдаленной точкой без пересечения петли, и внутреннюю, которую я предлагаю называть броуновской оболочкой или броуновским островом.

Рис. 340. На этом рисунке представлена оболочка броуновского следа, не образующего петли.

Комментарий. Я не знаю, проводил ли кто-нибудь исследование броуновских оболочек, но полагаю, что они заслуживают самого пристального внимания. Образцы, изображенные справа, являются результатом 200 ООО броуновских шагов, каждый из которых построен на растре 1 200 х 1 200.

По способу построения броуновские оболочки, соответствующие различным значениям А£, статистически тождественны, за исключением масштаба. И имеются все основания полагать, что мелкие детали границы оболочки асимптотически самоподобны (нет только конкретных доказательств). Граница не может быть масштабно-инвариантной в строгом смысле, так как петлю нельзя разделить на участки одинаковой структуры, однако малые подучастки подходят к масштабной инвариантности весьма близко.

Броуновское движение без самопересечений. По причинам, подробно изложенным в главе 36, где мы рассмотрим случайное блуждание без самопересечений, я предлагаю для обозначения границы броуновской оболочки термин броуновское движение без самопересечений.