АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ КРИВЫЕ ПЕАНО

< Рандомизация кривых Пеано через срединное смещение проходит так гладко только благодаря исключительным обстоятельствам. Аналогичные конструкции, имеющие в своей основе кривую Пеано с N > 2, значительно более сложны. Кроме того, если смещение средней точки следует гауссову распределению среднеквадратического значения, равного У2|А-В| (т.е. г\ и г-2 суть гауссовы независимые переменные, связанные уже знакомым нам соотношением (г2 + г2 — 1} = 0), то тем самым достигается более тесный параллелизм с неслучайным скейлин-гом. Получаемый в этом случае процесс весьма интересен. Только он не является броуновским движением. И все из-за складок. ►

РАЗМЕРНОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ ЧАСТИЦ В КВАНТОВОЙ

МЕХАНИКЕ

В качестве достойного завершения этого обсуждения можно упомянуть об одной фрактальной морщине, появившейся недавно на лике квантовой механики. Фейнман и Хиббс [150] отмечают, что типичная траектория квантовомеханической частицы непрерывна и недифферен-цируема; кроме того, многие авторы усматривают явное сходство между

25 о Броуновское движение и броуновские фракталы

337

броуновским и квантовомеханическим движениями (см., например, статью [441] и список литературы к ней). Вдохновившись этими параллелями и моими первыми эссе, Эббот и Уайз [2] показали, что наблюдаемая траектория частицы в квантовой механике представляет собой фрактальную кривую с размерностью £> = 2. Интересная аналогия — по крайней мере, в педагогическом смысле.

Рис. 338. ВЫБОРОЧНОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ КАК ПРИБЛИЖЕНИЕ БРОУНОВСКОЙ ФУНКЦИИ ИЗ ПРЯМОЙ В ПРЯМУЮ (РАЗМЕРНОСТЬ D — 3/2) И ЕЕ НУЛЬ-МНОЖЕСТВА (РАЗМЕРНОСТЬ D = 1/2)

Самая долгая (и самая простая!) из всех азартных игр началась приблизительно в 1700 г., когда в теории вероятности еще заправляла семья Бернулли. Если наша неизменно симметричная монета падает орлом вверх, то пенни выигрывает Генри, если же выпадает решка, пенни достается Томасу. (На самом деле их звали Петер и Пауль, но я так и не смог запомнить, который из них ставил на орла.)

Некоторое время назад понаблюдать за игрой заходил Уильям Фел-лер; результаты своих наблюдений он обобщил в виде графика зависимости совокупного выигрыша Генри от количества бросков монеты, каковой график вы можете видеть на рисунке вверху. (Воспроизводится по книге Феллера «Введение в теорию вероятности и ее приложения» (т. I)1 с любезного разрешения ее издателей, компании J.Wiley & Sons © 1950.)