Если решетка состоит из точек плоскости, координаты которых — целые числа, то величины (X + У)/у/2 и (X — У)/у/2 изменяются при каждом шаге на ±1. Говорят, что каждая из этих величин совершает случайное блуждание на прямой (см. рис. 338). В приблизительном масштабе, т. е. при малом АЬ и АР = у/АЬ, случайное блуждание неотличимо от броуновского движения.

ПРЯМЫЕ, «БЕЗРЕШЕТОЧНЫЕ», ОПРЕДЕЛЕНИЯ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ В {€)

Предыдущие определения броуновского движения основывались либо на временной решетке, либо и на временной, и на пространственной, однако в окончательном результате эти «подпорки» никак себя не проявляют. Я полагаю, что и при описании этого самого результата вполне возможно обойтись без них.

В прямом описании Башелье [12] постулируется, что на некоторой произвольной последовательности равных приращений времени Д£ векторы смещения АВ (£) независимы, изотропны и случайны с гауссовым распределением вероятности. Таким образом,

(ДВ(«)>=0 и ([АВ (г)]2} = \АЦ.

336

Стратифицированные случайные фракталы о VIII

Следовательно, среднеквадратическое значение АВ равно у/\ АЦ. Это определение не зависит от системы координат, но проекция вектора смещения АВ (£) на любую ось представляет собой гауссову скалярную случайную переменную с нулевым средним и дисперсией, равной У21 Доопределение, полюбившееся математикам, идет дальше и обходится без разделения времени на равные промежутки. Оно требует изотропии движений между любой парой моментов времени £ и £о > £. Оно требует независимости движения от предыдущего положения точки. Наконец, оно требует, чтобы вектор из точки В (£) в точку В (£о), деленный на \Z\to — £|, имел приведенную гауссову плотность распределения для всех £ и £о-

ДРЕЙФ И ПЕРЕХОД К В = 1

Движение коллоидной частицы в однородно текущей реке или электрона в медном проводнике можно представить как В (£) + 5Ь. След этой функции неотличим от следа функции В (£) при £ <С 1/52 и от следа функции <5£ при £ 1/<52. Таким образом, при £с ос 1/52 и гс ос 1/5 размерность следа понижается от£) = 2к£) = 1.<В терминологии критических феноменов величина 5 символизирует расстояние от критической точки, а показатели в формулах для £с и гс представляют собой критические показатели. ►