В моменты возвращения В (£) в 0 одновременно выполняются следующие равенства: X (£) = 0 и У (£) = 0. Следовательно, эти моменты должны принадлежать пересечению нуль-множеств функций X (£) и У (4), каковые множества не зависят друг от друга. Размерность пересечения равна 1 — 2Д", что при Н = 1/2 составляет Е = 0. Такое значение размерности можно расценивать как явный намек (но всего лишь намек, так как полное доказательство гораздо сложнее) на то, что В (£) почти наверное не возвращается в точку В (0) = 0.

А теперь рассмотрим множество моментов времени, когда В (£) попадает в точку, расположенную внутри горизонтального квадрата со стороной 2е и центром в точке 0. Это множество можно приближенно представить как пересечение множеств моментов £, находящихся на расстоянии е1/^ от точек нуль-множеств функций X {£) и У {£), соот-

25 о Броуновское движение и броуновские фракталы

335

ветственно. Для каждого из этих множеств масса, заключенная во временном промежутке [0, £], пропорциональна е1''я£1_я, а вероятность того, что именно этот промежуток содержит нужный момент £, пропорциональна ег/н1~н. Следовательно, вероятность того, что момент £ принадлежит пересечению этих множеств, пропорциональна е2/нЬ~2Н.

сю

Поскольку Н = У2, получаем [ Ь~2Н <И = со; на этом основании в теореме, предложенной Борелем и Кантелли, делается вывод, что количество возвращений В (£) в квадрат с центром в точке 0 почти наверное бесконечно. Впрочем, можно сказать и «чуть ли не бесконечно». Как следствие, пустоты в ограниченных броуновских сетях начинают — медленно и с видимой неохотой — заполняться.

СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ НА ЧАСТОЙ РЕШЕТКЕ

Можно генерировать броуновское движение и случайным блужданием на решетке. Здесь мы только упомянем о возможности такого подхода; более подробное обсуждение, ввиду наличия в нем некоторых сложностей, отложим до главы 36.

Мы говорим, что точка Р (£) = {X (Ь), У (Ь)}, вложенная в К2, совершает случайное блуждание, если в каждый из последовательных моментов времени, разделенных интервалом Д£, она перемещается на некоторое фиксированное расстояние \АР\ в направлении, которое выбирается случайным образом из доступных в данной решетке.