<1 Набросок доказательства. На протяжении временного промежутка Д£ значение разности т&хХ (£) — ттХ (£) есть величина порядка л/А£. Для покрытия этого подграфика функции X (£) квадратами со стороной Д£ потребуется порядка 1/л/Д£ квадратов. Следовательно, для покрытия графика на интервале от £ = 0 до £ = 1 потребуется порядка (Д£)-3/2 квадратов. А поскольку это число равно также (А1)~° (см. главу 5), можно эвристически заключить, что В = 3/2. ►

334

Стратифицированные случайные фракталы о VIII

ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ СЕЧЕНИЙ

Нуль-множество броуновской функции из прямой в прямую представляет собой горизонтальное сечение броуновской функции Х(Ь). Применив правило, сформулированное в главе 23, можно предположить, что размерность нуль-множества составляет 3/2 — 1 = 1/2; как нам уже известно, так оно и есть. Другие приложения этого правила также обладают огромной эвристической ценностью, в чем мы убедимся немного позже. Правило это имеет и исключения, особенно в случае неизотропных фракталов. Например, вертикальное сечение броуновской функции из прямой в прямую — это всего лишь точка.

Рассуждая аналогичным образом, находим размерность линейного сечения броуновского следа из прямой в плоскость: 2 — 1 = 1, и это в самом деле так.

В более общем виде стандартное правило можно сформулировать следующим образом: если не считать особых конфигураций, коразмерности Е — Е при пересечении складываются. Следовательно, коразмерность пересечения к плоских броуновских следов равна к ■ 0 = 0. В частности, можно ожидать, что точки самопересечения броуновского следа образуют множество с размерностью 2 (в самом деле, образуют). (И все же многочисленные точки самопересечения броуновского следа, равно как и сам броуновский след, не в состоянии заполнить плоскость.)

Правило сложения коразмерностей можно использовать для доказательства следующего утверждения (некоторое время назад мы уже говорили об этом): броуновское движение почти наверное не возвращается в свою начальную точку В (0) = 0, однако почти наверное бесконечно часто проходит в произвольной окрестности этой точки. Для того, чтобы придать нашим рассуждениям более общий вид и сделать их пригодными для последующего применения в главе 27 без дополнительной корректировки, обозначим размерность броуновского нуль-множества буквой Н.