Заметим, что кривые Коха допускают только коэффициенты подобия вида г = Ъ~к, где Ь — целое число, для броуновского же следа сгодится любое г. Весьма ценное свойство.

БРОУНОВСКОЕ НУЛЬ-МНОЖЕСТВО САМОПОДОБНО...

Особое значение для изучения броуновских функций имеют множества постоянства, или изомножества, координатных функций X (£)

25 о Броуновское движение и броуновские фракталы

333

и У (£). Например, нуль-множество определяется в те моменты времени £, когда X (£) = 0.

Изомножества самоподобны; их очевидная чрезвычайная разреженность подтверждается и их фрактальной размерностью В = 1/2. Они представляют собой особый случай пыли Леви, которую мы рассмотрим в главе 32.

Распределение пустот в броуновских нуль-множествах. Длины пустот броуновского нуль-множества удовлетворяют соотношению Рг(ГУ > и) = и~в', где В = У2. Аналогичное соотношение (№([/ > и) = и~и), как нам известно, применимо к длинам «пауз» в канторовой пыли; только здесь мы заменили № на Рг, а ступени исчезли из-за рандомизации.

... А БРОУНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ВСЕГО ЛИШЬ САМОАФФИННА

Что же касается графиков функций X (£) и У (£), а также векторной функции £?(£), то они являются не самоподобными, а всего лишь самоаффинными. То есть участок кривой от £ = 0 до £ = 4 можно покрыть М = 4 его уменьшенными копиями только при условии, что вдоль оси (осей) пространственных координат уменьшение по-прежнему происходит с коэффициентом подобия г = У2, а временная координата при этом уменьшается с другим коэффициентом г2 = 1/М. Следовательно, размерность подобия для графиков функций X (£), У (£) и В (£) не определена.

Более того, аффинные пространства таковы, что расстояния вдоль оси £ и расстояния вдоль осей X (£) и У (£) нельзя сравнивать друг с другом, а это означает, что диски определить невозможно. В результате соотношение М (К) ос В° не имеет в случае броуновских функций аналога, который мог бы послужить для определения размерности В.

С другой стороны, к ним применимо определение Хаусдорфа-Бези-ковича. Это вполне согласуется с высказанным в главах 5 и 6 утверждением о том, что определение размерности Хаусдорфа-Безиковича представляет собой наиболее общий — и наиболее громоздкий! — способ интуитивного постижения содержания понятия фрактальной размерности. Значение В для функции X (£) равно 3/2, а для функции В{Ь) В = 2.