Формально это соотношение полностью идентично тому, что мы получили для кривых Коха (глава 6) или канторовой пыли (глава 8). И тем более идентично соотношению для классических случаев интервала, диска или шара однородной плотности.

БРОУНОВСКИЙ СЛЕД: ОТСУТСТВИЕ «СКЛАДОК» И СТАЦИОНАРНЫЕ ПРИРАЩЕНИЯ

Рандомизировав кривую Пеано, мы нежданно-негаданно получили гораздо больше, чем предполагали. В качестве предваряющего комментария заметим, что в моменты времени вида Ы~к неслучайные кривые

332

Стратифицированные случайные фракталы о VIII

Коха и Пеано непременно демонстрируют «складки». Разделив, например, треть границы снежинки на четыре части, мы обязательно обнаружим, что угол между первой и второй четвертями отличается от угла между второй и третьей. То есть спутать левую четверть со средней просто невозможно.

Броуновский же след лишен таких «складок». Имея перед глазами броуновский след на некотором интервале времени £, никак нельзя сказать, где именно на временной оси расположен этот интервал. В терминологии теории вероятности принято говорить, что броуновский след имеет «стационарные приращения».

Это свойство заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, на нем основывается альтернативное, «безрешеточное», определение броуновского движения, данное несколько дальше в этой же главе, а во-вторых, оно не имеет соответствий среди свойств аналогичных рандомизированных форм простых фрактальных кривых и поверхностей.

БРОУНОВСКИЙ СЛЕД: САМОПОДОБИЕ

Из отсутствия складок вытекает весьма сильная форма статистического самоподобия. Положим В (0) = 0, выберем два положительных числа к и Ы и воспользуемся разделом теории вероятности, который называется теорией слабой сходимости. Согласно этой теории, функции статистически тождественны. Положив далее Т<оои/г<1и изменяя £ в интервале от 0 до Т, мы обнаруживаем, что функция Ът ^В (Ы) представляет собой некоторое подобие участка функции В (£) в уменьшенном масштабе. Эту статистическую тождественность части целому можно рассматривать как форму самоподобия.

Самоподобие в приложении к случайным множествам — понятие не столь строгое, как то, с которым мы познакомились в главе 5, так как здесь части не обязательно должны быть в точности подобны целому. Достаточно того, что части и уменьшенное в масштабе целое имеют одинаковые распределения.