Нулевая площадь броуновской сети. Несмотря на размерность броуновской сети (О = 2), ее площадь равна нулю. То же должно быть верно и для пеано-броуновских гибридов.

Неограниченный след плотен в плоскости. Это свойство основывается на том факте (который мы установим несколько позже, когда будем говорить о нуль-множествах), что неограниченный след бесконечно часто «возвращается» в любую заданную плоскую область V — такую, например, как диск. А если взять любую произвольно малую

25 о Броуновское движение и броуновские фракталы

331

область Т> и совместить ее центр с произвольной точкой Р на плоскости, то станет ясно, что неограниченный броуновский след подходит к каждой точке плоскости бесконечно много раз и на произвольно близкое расстояние.

Однако — в чем мы убедимся при рассмотрении тех же нульмножеств — вероятность того, что некий конкретный след точно попадет в некую заданную точку, равна нулю, т. е. заданная точка почти наверняка оказывается не затронутой неограниченным следом.

Часть неограниченного следа, заключенную внутри области Т>, можно приближенно представить себе в виде исчислимо бесконечного множества независимых ограниченных сетей, наброшенных на область Т>. Результат напоминает исчислимо бесконечное множество точек, выбранных случайным образом и независимо друг от друга из интервала [0, 1]. Общеизвестно, что такое множество везде плотно, однако длина его равна нулю.

ЗАВИСИМОСТЬ МАССЫ ОТ РАДИУСА

Величина у/1 в качестве коэффициента подобия характерна для большинства аспектов броуновского движения. Например, если измерить по прямой расстояние, которое покрывает броуновское движение за время £, то мы получим случайную величину, кратную у/1. Аналогичным образом и общее время, проведенное броуновской точкой внутри окружности радиуса Д с центром в точке В (0) = 0, представляет собой случайную величину, кратную Я2.

Определив величину, пропорциональную времени, затраченному броуновским следом на прохождение того или иного своего участка, как «массу», а затем «взвесив» эти самые участки, мы обнаружим, что — как в плоскости, так и в пространстве (Е > 2) — общая масса, заключенная внутри окружности радиуса К, определяется соотношением М(Д) ос В2.