Множественные самопересечения. Даже если остановить рандомизацию после первого же этапа описанного в предыдущем разделе

330

Стратифицированные случайные фракталы о VIII

процесса, она успевает полностью нарушить идеальные дальний и ближний порядки, благодаря которым кривые Пеано избегают самопересечений. Рандомизированные терагоны самопересекаются уже на начальных этапах построения, а предельный след почти наверное содержит бесконечное количество самопересечений.

Броуновские пустоты. Общеизвестно, что броуновский след, экстраполированный для всех значений I от — сю до +оо, плотно заполняет плоскость. Это свойство мы вскоре выведем заново. Однако след, ограниченный определенным промежутком времени, обладает собственной весьма примечательной геометрией — и я не припомню, чтобы ее кто-либо где-либо описывал.

Очевидно, в качестве компенсации за те точки, которые броуновский след В (£) покрывает за время Ь е [0, 1] несколько раз, остальные точки плоскости остаются непокрытыми. Эти непокрытые точки образуют открытое множество, которое разделяется на внешнее множество, содержащее точку в бесконечности, и бесконечное количество непересекающихся броуновских пустот. И внешнее множество, и каждая пустая область ограничены фрактальными кривыми, которые являются подмножествами следа. Следовательно, броуновский след можно считать фрактальной сетью — наглядные подтверждения этому вы найдете на рис. 340 и 341.

< В главе 14 описана сеть с размерностью £>, в которой число пустот площади II, превышающей некоторое заданное значение и, определяется соотношением №([/ > и) ос и^°/Е. В случайном контексте при I? = Е = 2 формальное обобщение имеет вид Р (и) = = Рт(11 > и) ос м-1. Однако в данном случае оно неприменимо, так

б

как должен сходиться интеграл JГ Р (II > и) 3,и. В связи с этим я пред-

0

полагаю, что Рг([/ > и) ос и~гЬ (и), где Ь (и) — некая медленно изменяющаяся функция, которая убывает достаточно быстро для обеспечения сходимости упомянутого интеграла. Из-за необходимости введения непостоянной величины Ь (и) размерность I? = 2 в самоподобной разветвленной сети оказывается недостижима — точно так же, как недостижима она и в самоподобной простой кривой (см. главу 15). ►