Теорема Пифагора применима к любому из упомянутых способов рандомизации: приращения изотропного движения на двоичных подынтервалах двоичного же интервала геометрически ортогональны.

Длины случайных смещений. Второе отступление от правил неслучайного построения: рандомизации подвергается и длина смеще-

25 о Броуновское движение и броуновские фракталы 329

ния. Начиная с настоящего момента, под величиной 2~к~г следует понимать уже не квадрат неслучайного АМ\, а среднеквадратическое значение случайного |ДМ|. В результате величины смещения АР* удовлетворяют следующим выражениям:

(|AiP*|2) = (|Д2Р*|2) = У4(|ДР*|2) + (|ДМ|2); (|AiP*|2) + (\А2Р*\2) = 1/2(\АР*\2) + 2~к.

Случайный инициатор. Следующим шагом будет использование в построении случайного инициатора, среднеквадратическая длина которого равна 1. Отсюда неизбежно следует, что (|ДР*|2) = 2~fc~1, и мы получаем пифагорову теорему для средних:

(|AiP*|2 + |Д2Р*|2 - |ДР*|2} = 0.

Иными словами, геометрически ортогональные отрезки заменяются отрезками, которые в теории вероятности называются статистически ортогональными или некоррелированными.

Независимые приращения. Срединные смещения можно теперь считать статистически независимыми, как внутри каждого отдельного этапа, так и между этапами.

Гауссовы приращения. Рандомизированная кривая Пеано становится броуновским следом В (t) тогда, когда срединные смещения следуют изотропному гауссову распределению. < В плоскости квадрат модуля этой переменной распределяется экспоненциально. Следовательно, при прямом построении нам следует случайным образом выбрать на однородном интервале [0, 1] точку U и определить модуль как \АМ\ =

= [-2\nU]^. ►

Обобщение на пространство. Окончательное построение имеет смысл и при Е > 2.

Размерность D — 2. Теорема Пифагора для средних представляет собой обобщенное определение размерности подобия. Она применима и к броуновскому следу, поскольку размерность Хаусдорфа-Безиковича в этом случае также равна 2. В применимости же ее к случаю негауссова распределения величины смещения средней точки еще предстоит разобраться.

БРОУНОВСКИЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ СЕТИ (РЕШЕТКИ)