ПЛОСКИЙ БРОУНОВСКИЙ СЛЕД, ПОСТРОЕННЫЙ КАК СЛУЧАЙНАЯ КРИВАЯ ПЕАНО (ЛГ = 2)

Изучение броуновских следов проливает новый свет на природу кривых Пеано — и это при том, что броуновский след, как выяснилось, представляет собой не что иное, как рандомизированный вариант

328

Стратифицированные случайные фракталы о VIII

кривой Пеано. Я провел небольшой опрос среди случайно выбранной группы ученых, и ни один из них не признал идентичности этих двух построений; не упоминается об этом и в случайным образом отобранной мною (и тщательно просмотренной) пачке книг, посвященных данному предмету. Математики любыми способами избегают такого подхода, поскольку основная его составляющая (иерархия слоев с возрастающей детализацией, регулируемая двоичной временной решеткой) никак не связана с результатом построения. Это обстоятельство, по мнению математиков, придает данному подходу искусственный и надуманный характер — однако именно благодаря этому обстоятельству он замечательно вписывается в настоящее эссе.

Процесс можно начинать с любой кривой Пеано с N = 2 и г = = 1 /л/2- Хитрость заключается в последовательном снятии различных ограничений при продвижении по этапам.

Промежуточные фракталы — «пеано-броуновские гибриды» — заслуживают отдельного подробного изучения в более подходящей обстановке.

Трансверсальное срединное смещение. В конструкциях, изображенных на рис. 98-102, на (к + 1)-м этапе построения fc-й терагон трансформируется путем трансверсального срединного смещения каждого прямолинейного интервала на величину |ДМ| = \/2_fe_1 влево или вправо в соответствии с некоторыми конкретными правилами — например, в зависимости от четности числа к.

Обозначим смещения кривой Пеано за промежуток времени At = = t~k и за два половинных промежутка Ait и A2t через, соответственно, АР, Д]Р и А2Р. Теперь теорему Пифагора можно записать так:

|ДР|2 = |AiP|2 + |А2Р|2.

Направления изотропных смещений. В качестве нашего первого отступления от правил построения любой кривой Пеано попробуем рандомизировать направления смещения. Один подход предполагает равную вероятность смещений вправо и влево, давая в результате этакую «случайную прыг-скок-кривую». Другой подход состоит в случайном (однородной плотности) выборе точки на окружности, размеченной в градусах, и использовании полученной таким образом угловой величины. Смещения, определяемые такой процедурой, называются изотропными.