Перед началом к-то этапа река течет в «предсквиг-долине», составленной из ячеек правильной треугольной решетки со стороной 2~к. Разумеется, ни в одну ячейку нельзя наведываться более чем однажды, к тому же каждое звено в решетке должно касаться сторонами двух соседних звеньев, оставляя третью сторону «свободной».

См. прим. к с. 68. — Прим. перее.

318

Стратифицированные случайные фракталы о VIII

На к-м этапе эта предсквиг-кривая заменяется другой, более точной, построенной на интерполированной решетке со стороной 2~к~х. Очевидно, что предсквиг-кривая (к + 1)-го порядка обязательно содержит половину каждой стороны, общей для двух соседних звеньев к-то порядка. Верно также строгое обратное утверждение, а именно: положение общих (несвободных) половин сторон однозначно определяет вид предсквиг-кривой (к + 1)-го порядка.

Симметрично-случайные сквиг-кривые. Будем выбирать половину стороны, которую следует оставить свободной, случайным образом, полагая, что каждый из вариантов равновероятен. Тогда число звеньев (к + 1)-го порядка внутри звена к-то порядка равно 1 с вероятностью 1/4 или 3 с вероятностью 3/4. Среднее значение составит 2, 5.

С каждым этапом долина сужается и в пределе асимптотически сходится в некую фрактальную кривую. Я, естественно, предположил, что размерность этой предельной кривой равна И = 1п2,5/1п2 = 1,3219. Доказательство (весьма деликатное, надо сказать) можно найти в [473].

Асимметрично-случайные сквиг-кривые. Предположим, что вероятность того, что после разделения стороны треугольника на две половины поддолйна выберет, скажем, «левую», не равна 1/2. Понятия «правый» и «левый» можно определять либо с позиции наблюдателя, смотрящего в направлении вниз по реке, либо с позиции наблюдателя, находящегося в центре разделяемого треугольника. В первом случае £> = 1п[3 — р2 — (1 — р2)]/ 1п2 и может принимать значения от 1 до 1п2, 5/1п2. Во втором случае £> = 1п[3 — 2р(1 — р)]/1п2 и может принимать значения от 1п 2, 5/ 1п 2 до 1п 3/ 1п 2. В общей сложности допустимы все значения И от 1 до 1п 3/ 1п 2.