Общие вершины, рассматриваемые первыми, порождают «случайные цепи», которые представляют собой прямое обобщение некоторых кривых Коха или Пеано.

Что касается общих сторон, то от них берет начало гораздо более интересное и привлекательное семейство фракталов, представленное впервые в [393] и [394]. Одни представители этого семейства — «простые» кривые, неветвящиеся и не содержащие самопересечений, другие имеют вид петель и деревьев; кроме того, процесс может порождать

24 о Случайные цепи и сквиг-кривые

317

и поверхности. Я предлагаю называть такие фигуры сквиг-кривыми и сквиг-поверхностямиК

Я отдаю сквиг-кривым предпочтение перед случайными цепями главным образом потому, что их меньшее непостоянство, по всей видимости, отражает некое фундаментальное свойство пространства.

Линейные сквиг-кривые можно считать приближенными моделями линейных полимеров и речных русел, петлеобразными сквиг-кривыми моделируются береговые линии, а древовидными — речные бассейны.

СЛУЧАЙНЫЕ ЦЕПИ И ЦЕПНЫЕ КРИВЫЕ

Совокупность белых областей на рис. 71 можно рассматривать как цепь, составленную из треугольников, соединенных вершинами. Следующий этап построения заменяет каждый треугольник подцепочкой, целиком заключенной внутри него, и дает в результате цепь, составленную из меньших треугольников, снова соединенных вершинами. Такая последовательность вложенных друг в друга цепей сходится в пределе к кривой Коха. (Процедура напоминает построение цепей Пуанкаре в главе 18.)

Подобным образом можно построить и многие другие кривые Коха — например, салфетку Серпинского (рис. 205); цепью в этом случае послужит фигура, остающаяся после удаления центральных треугольных трем.

Этот метод построения прекрасно рандомизируется — например, можно заменить треугольник двумя треугольниками с коэффициентом г = 1/л/З, как на рис. 71, либо тремя треугольниками с г = 1/3.

ПРОСТЕЙШИЕ СКВИГ-КРИВЫЕ [393]

Простейшей сквиг-кривой является случайная фрактальная кривая, построенная в [393, 394] и более подробно изученная в [473, 474, 475]. Это модель русла реки, созданная по образу и подобию известных картинок из учебников по географии и геологии, на которых изображены последовательные этапы развития реки, промывающей себе путь через долину; с каждым этапом будущее русло приобретает все более четкие очертания.