АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ РЕШЕТКИ И СКВИГ-КРИВЫЕ

Используя другие интерполированные решетки, можно получить сквиг-кривые иного вида. Во всех случаях, когда для идентификации предсквиг-кривой (к + 1)-го порядка достаточно знать, в каких интервалах она пересекает границу между двумя ячейками к-то порядка, возможно непосредственное обобщение. В качестве примера можно привести прямоугольную решетку, в которой отношение длинной стороны ячейки к короткой имеет вид л/Ъ, и каждая ячейка интерполируется в Ъ ячеек, расположенных поперек исходной ячейки.

Иначе обстоит дело с треугольными решетками, ячейки которых интерполируются в Ь2 ^ 9 треугольников, или с квадратными решетками, где ячейки интерполируются в б2 ^ 4 квадратов. В обоих случаях интерполяция предсквиг-кривых требует дополнительных шагов.

24 о Случайные цепи и сквиг-кривые

319

При 6 = 3 (треугольная решетка) или 6 = 2 (квадратная решетка) достаточно одного дополнительного шага — вполне, впрочем, естественного. В самом деле, представьте себе четыре «луча», исходящих из центра квадрата и разделяющих его на четыре части (либо шесть лучей, разделяющих треугольник на девять частей). Как только мы оставляем свободным один из этих лучей, поддолйна оказывается полностью определена. Согласно моему определению сквиг-кривых, луч, который следует оставить свободным, выбирается случайным образом, причем каждый из вариантов равновероятен. Размерности при этом принимают следующие значения: £> ~ 1,3347 (для треугольников, разделенных на девять частей) и В ~ 1,2886 (для квадратов, разделенных на четыре части). Учитывая, что для простейших сквиг-кривых £) ~ 1, 3219, можно заключить, что все сквиг-кривые характеризуются приблизительно одинаковой размерностью И, значение которой находится в окрестности 4/3.

В тех случаях, когда ячейка разделяется на б2 частей, где 6 > 3 (для треугольников) или 6 > 2 (для квадратов), для определения под-долйны необходимо вводить различные дополнительные факторы, отчего конструкция приобретает все более произвольный характер. При этом сущность сквиг-построения, понимаемая в свете рассуждений последующего раздела, оказывается потерянной.