С учетом этих результатов не составляет особого труда завершить доказательство приведенных в предыдущем подразделе неравенств: если творог содержит в себе кривую (или поверхность), то любая точка Р на этой кривой (поверхности) содержится внутри блока со стороной вида Ь~@, который кривая (поверхность) пересекает в некоторой точке (или кривой). Можно утверждать, что таких точек (или кривых) почти наверняка не существует при В < г/2(Е + 1)) (или при В < г/2Е + 1).

ПЕРКОЛЯЦИОННЫЕ ФРАКТАЛЬНЫЕ КЛАСТЕРЫ

Обсуждение топологии лучше всего продолжать в рамках перко-ляционной терминологии. В соответствии с определением, приведенным в главе 13, мы говорим, что некая фигура внутри квадрата или куба перколирует, если она содержит в себе связную кривую, соединяющую противоположные стороны этого квадрата или куба. Под термином «перколяция» обычно понимают бернуллиеву перколяцию, которую мы рассматривали в главах 13 и 14. Однако аналогичная задача возникает и в контексте случайных фракталов. Ниже мы попытаемся решить эту задачу на примере случайного творога.

Опираться мы будем на фундаментальный факт, заключающийся в том, что если упомянутая фигура представляет собой <т-кластер, то она перколирует в том и только в том случае, если перколирует один из принадлежащих ей контактных кластеров. Когда контактные кластеры фрактальны и их длины подчиняются безмасштабному гиперболическому распределению, вероятность перколяции не зависит от длины стороны квадрата и не вырождается в 0 или 1. В бер-нуллиевой перколяции упомянутое в предыдущем предложении «когда» сводится к весьма жесткому условию: р = £>крит- Перколяция сквозь фрактальный творог довольствуется условием более мягким, а именно: Е > Екрш. Разница очень значительна. И все же понимание бернуллиевой перколяции помогает понять перколяцию творога, и наоборот.

23 о Случайный творог

309

Верхний предел для -Окрит. Я утверждаю, что при 6>3 пороговое значение ДфИТ удовлетворяет неравенству 6-°крит > ЬЕ + 1/2ЪЕ~1. Точнее, при фиксированном N (ограниченное створаживание) выполнение этого условия почти гарантирует перколяцию. При неограниченном створаживании оно означает, что существует некая положительная, но малая вероятность того, что перколяции не произойдет.