Критические размерности. Топологическая размерность Ет творога дискретно изменяется, когда значение Е пересекает определенные критические пороги, которые мы будем обозначать как -Окрит, -С^криц---, -0(в-1)Крит- Иными словами, почти невозможно встретить смешанный творог, т. е. такой, который состоял бы из отдельных частей с различной размерностью Ет-

Порог -Окрит — самый важный. Он, кроме того, является верхним пределом для тех значений Е, при которых данный творог почти наверняка представляет собой пыль, а также нижним пределом для тех значений Е, при которых данный творог почти наверняка распадается на бесконечное количество непересекающихся участков, каждый из которых представляет собой связное множество. По причинам, изложенным в главе 13, эти участки называются контактными кластерами.

Следующий порог, 1?2крит, отделяет значения Е, при которых творог представляет собой <т-кривую, от тех, при которых он становится и-поверхностью, и т. д. Если (или когда) мы всерьез займемся исследованием топологии сыворотки, она, вполне возможно, одарит нас новыми критическими порогами.

23 о Случайный творог

307

Размерность кластеров. Когда Б > ДфИТ, фрактальная размерность контактных кластеров Ос < И. По мере уменьшения значения И от Е до ДфИТ размерность кластеров Ос сначала уменьшается от Е до некоторого -Остт, а затем резко падает до нуля.

Распределение размеров кластеров. Распределения Рг(Л>А), Рг(А > а) и т.д. можно получить путем простой замены № на Рг в соответствующих формулах главы 13.

Пределы для -Окрит и Азкрит- Очевидно, что Д<рИТ > 1 и 1?2крит ^ 2. В следующем разделе доказывается, что для порога -Окрит существует верхний предел, меньший Е, из чего можно заключить, что вышеприведенные определения и в самом деле имеют вполне конкретный смысл.

Кроме того, существуют и более связанные нижние пределы, не зависящие от Ъ. Чуть позже я покажу, что достаточным условием для От = = 0 является £) < г/2{Е + 1). Следовательно, ДфИт > У2(-Б + 1) > 1. Достаточным же условием для равенства От либо 0, либо 1, является £> < 1/2Е + 1. Следовательно, 02Крш > Уг-Е + 1 > 2.