lim lnATi (m)/ln(l/rm) = ln(ATi)/ln(l/r) = D - 2.

m—>oo

К двумерным следам вихрей применимы те же рассуждения, только нужно заменить величину N\ на некоторую случайную величину N2 — такую, что (N2) = Nr. Если (N2) ^ 1 (т. е. D ^ 1), то поверхность каждого вихря становится в конце концов пустой. Если же (N2) > 1 (т. е. D > 1), то размерность подобия равна D — 1 согласно следующему почти всегда верному соотношению:

lim InN2 (m)/ln(l/rm) =1п(ЛГ2)/1п(1/г) = D - 1.

т—>оо

При ограниченном створаживании результаты остаются такими же.

Тождественность поведения фрактальной и евклидовой размерностей при пересечении подтверждается и следующим наблюдением: при пересечении нескольких створоженных фракталов, носителем которых является одна и та же решетка, а размерности равны, соответственно, Dm, выполняется равенство Е — D = ^(Е — Dm).

306

Стратифицированные случайные фракталы о VIII

ТОПОЛОГИЯ ТВОРОГА: КЛАСТЕРЫ

Рискуя показаться занудным, все же позволю себе повториться: фундаментальные неравенства — Е < 2 для галактик (глава 9) и Е > 2 для турбулентности (глава 10) — являются не топологическими, но фрактальными.

При неслучайном створаживании в Е ^ 2 (см. главы 13 и 14) топология предельного множества однозначно определяется выбранным в начале процесса генератором. Любой ковер Серпинского (Е > Ет = 1) представляет собой плоский связный творог, а любая губка (Е > Ет = = 1) или пена (И > От = 2) — пространственный связный творог. Остальные твороги — это либо сг-кластеры, либо пыли. Таким образом, при Е = 3 и Е > 2 (т. е. в тех случаях, которые интересуют исследователей турбулентности) неслучайный каскад может привести либо к Ют = 0 (пыль), либо к Ют = 1 (кривые или <т-кривые), либо к Ют = = 2 (поверхности или <т-поверхности). Когда же Е = 3, а Е < 2 (этими случаями, как правило, занимается астрономия), топологическая размерность Ет может быть равна либо 0, либо 1.

Случайное же створаживание использует статистически смешанный генератор; о топологии предельного множества в этом случае можно говорить лишь «почти наверное» (см. конец главы 21). Сама неточность такого створаживания делает его настолько простым, что существенным становится тщательно исследовать имеющиеся в нем на этот счет предсказания. Наше теперешнее знание складывается из доказанных фактов и выведенных из косвенных свидетельств умозаключений.