РАЗМЕРНОСТЬ £> ФРАКТАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ: ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ КОРАЗМЕРНОСТЕЙ

Наша следующая тема уже неоднократно упоминалась ранее. И вот теперь мы созрели для того, чтобы рассмотреть ее в полном и явном виде на примере одного особого случая.

Для начала припомним следующее стандартное свойство евклидовой геометрии плоскости: если размерность Е некоторой фигуры удовлетворяет условию Е ^ 1, то сечение этой фигуры прямой (если оно не пусто) «обычно» имеет размерность Е — 1. Например, непустое линейное сечение квадрата (Е = 2) представляет собой отрезок с размерностью 1 = 2 — 1. А линейное сечение прямой (Е = 1) — это точка (размерность 0 = 1 — 1), за исключением случая, когда обе прямые совпадают.

Стандартные геометрические правила, определяющие поведение размерности при пересечении, можно свести к следующему, более общему, виду: если сумма коразмерностей С = Е — Е меньше Е, то эта сумма является коразмерностью типического пересечения; в противном случае пересечение, как правило, оказывается пустым. (Я приглашаю читателя самостоятельно проверить справедливость данного утверждения для различных пространственных конфигураций плоскостей и прямых.)

Упомянутое правило, к счастью, распространяется и на фрактальные размерности. Благодаря этому обстоятельству многие относящиеся к фракталам рассуждения становятся гораздо более простыми, чем можно было опасаться. Не следует, однако, забывать и о многочисленных исключениях из правила. Так, в частности, в главе 14 мы наблюдали,

23 о Случайный творог

305

что при пересечении неслучайного фрактала J особым образом расположенной прямой или плоскостью далеко не всегда можно вывести размерность получающегося сечения из размерности фрактала J. Случайные фракталы в этом смысле заметно проще.

РАЗМЕРНОСТЬ D СЕЧЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ТВОРОГОВ

Для доказательства применимости этого фундаментального правила к фрактальному творогу рассмотрим следы (квадраты и интервалы), оставляемые вихрями и субвихрями каскада створаживания на поверхности либо на краю исходного вихря со стороной L. На каждом этапе каскада каждый участок предтворога замещается некоторым количеством меньших участков, причем количество это определяется процессом рождения и гибели. Обозначим количество «отпрысков» т-го поколения, расположенных вдоль края исходного вихря, через N\ (т). Классические выводы, уже использованные ранее в этой главе, показывают, что величина N\ (т) не оставляет нам богатого выбора. Если (N\) = Nr2 ^ 1 (т. е. D ^ 2), то можно быть почти уверенным, что семейство в конце концов вымирает, иными словами край вихря становится пустым, а размерность его, как следствие, равной нулю. Если же (Ni) > 1 (т. е. D > 2), то генеалогическая линия каждого края имеет, напротив, ненулевую вероятность продолжиться на бесконечное число поколений. Размерность подобия в этом случае равна D — 2 согласно следующему почти всегда верному соотношению: