Сыр. Образ, стоящий за термином створаживание (равно как и за термином сыворотка, обозначающим дополнение творожного множества), не следует, разумеется, воспринимать буквально, однако известно, что образование реального сыра может быть вызвано биохимической нестабильностью — точно так же, как створаживание Новикова-Стюарта происходит, согласно предположению, вследствие нестабильности гидродинамической. Как бы то ни было, неопровержимых данных в пользу того, что какой-нибудь съедобный сыр может оказаться, ко всему прочему, еще и фрактальным, у меня нет.

СЛЕДСТВИЯ «ПРОМЕЖУТОЧНОСТИ» СЛУЧАЙНОГО

ТВОРОГА

Известно, что в трехмерном пространстве стандартные фигуры с размерностью £> < 3 (точки, линии и поверхности) имеют нулевой объем. Это верно и для случайного творога.

Площадь предтворогов также ведет себя довольно просто. При £>>2 она стремится к бесконечности, а при И < 2 — к нулю. При И = 2 створаживание практически не изменяет величину площади.

Аналогичным образом, по мере того, как т —> со, суммарная длина краев предтворогов стремится к бесконечности при £> > 1 и к нулю при £) < 1.

Эти свойства можно считать еще одним подтверждением того, что творог с фрактальной размерностью, заключенной в интервале 2<£)<3, представляет собой нечто среднее между обычной поверхностью и объемной фигурой.

< Доказательства. Самым простым оказывается доказательство для случая ограниченного створаживания. Объем т-го предтворога равен £3г3тдгт = £3 (г3~-°)т, и величина эта стремится к нулю по мере уменьшения внутреннего масштаба г\ = гт. Что касается площади, то

304

Стратифицированные случайные фракталы о VIII

случай Е < 2 устанавливается по верхнему пределу. Площадь предтво-рога т-го порядка не может превышать суммы площадей соответствующих вихрей, так как упомянутая сумма включает в себя те стороны субвихрей, которые, являясь общими для соседних творогов, нейтрализуют одна другую. Поскольку площадь каждого вихря т-го порядка составляет 6Ь г2т, их общая площадь не может превышать §Ь2г Ыш = = 6Ь2 (г2~п)т. При Е < 2 верхний предел стремится к нулю по мере того, как т —> со, что доказывает наше утверждение. В случае Е > 2 мы можем получить нижний предел, отметив, что объединение вихрей т-го порядка, содержащихся в предтвороге т-го порядка, включает в себя, по крайней мере, один квадрат с длиной стороны г™ и площадью г2т, каковой квадрат достается нам в наследство от предтворога (т — 1)-го порядка и никак не может быть стерт. Следовательно, общая площадь не может быть меньше, чем £,2г2т]\[т-1 = (Ь2/М) (г2~п)т, а эта величина стремится к бесконечности вместе с т. Наконец, при Е = 2 оба предела оказываются конечными и положительными. ►