Фундаментальным следствием этого наблюдения является существование для величины (N) критического значения: этот факт был открыт в 1845 году Иренеем Бьянемё (см. [212]) и вполне заслуженно называется эффектом Бьянеме.

Значение (N) = 1 является критическим в том смысле, что количество N (т) наличествующих в m-м поколении отпрысков ставит нас перед очень простой альтернативой. Если (N) ^ 1, то семейство почти наверняка вымрет, и в настоящей интерпретации это означает, что каскад даст в конце концов пустое множество. Если же (N) > 1, то генеалогическая линия каждого творога имеет ненулевую вероятность продолжиться на бесконечное число поколений. В этом случае случайное створаживание дает в пределе случайную линейную пыль.

Смысл размерности подобия. Так как отношение In N(т)/\п(1/г) здесь изменяется случайным образом, понятие размерности подобия требует переосмысления. Из почти истинного соотношения

lim In N (m)/ ln(l/rm) = 1п(ЛГ)/ ln(l/r)

m—>oo

можно предположить, что обобщенная размерность подобия выглядит следующим образом:

D* = 1п(ЛГ)/1п(1/г) = Е -\пр/\пг.

При таком определении D* условие существования непустого предельного множества (N) > 1 принимает весьма логичный вид: D* > 0. Если D* > 0, то D = D*. Если же мы формально применим эту формулу к случаю (N) ^ 1, то получим D ^ 0, однако фактически размерность D пустого множества всегда равна 0.

ВЛОЖЕННЫЕ ТВОРОГИ С УМЕНЬШАЮЩЕЙСЯ РАЗМЕРНОСТЬЮ D

Построим последовательность случайных творогов с уменьшающейся размерностью D, каждый из которых вложен в предыдущий.

Предварительный этап не зависит от величины D и заключается в присвоении каждому вихрю (неважно, какого порядка) некоторого

302

Стратифицированные случайные фракталы о VIII

случайного числа и из интервала от 0 до 1. Из главы 21 нам известно, что все эти числа, взятые в совокупности, эквивалентны одному-единственному числу, которое служит мерой вклада случайности в данный процесс. Далее выбираем значение И и определяем из последней записанной нами формулы порог вероятности р. Наконец, происходит собственно створаживание посредством, если можно так выразиться, процесса «фрактальной децимации»1. При II > р вихрь «умирает», переходя в простоквашу и унося с собой все свои субвихри. Если же II ^ р, то вихрь можно считать выжившим и готовым к дальнейшему створаживанию.