Любая принадлежащая творогу точка Р определяется последовательностью вложенных «предтворожных» интервалов с длинами Я^ = = Ь~к. Если общая исходная масса равна 1, то каждый предтворог содержит одинаковую массу Я®. Масса, содержащаяся в интервале длины 1Як с центром в точке Р, равна произведению Я® на некоторую случайную величину, лежащую в интервале от 1 до 2 и не зависящую от к.

Заметим, что размерность £> ограничена последовательностью 1п(6 — 1)/1п6, 1п(6 — 2)/1п6, .... Это ограничение часто причиняет неудобства. Что более важно, вышеприведенное определение створаживания сложно реализуется в компьютерной программе и вообще плохо поддается аналитическим манипуляциям. Так как главное достоинство модели створаживания заключается в ее простоте, более предпочтительным, очевидно, окажется альтернативное определение, которое мы дадим в последующих разделах. Во избежание путаницы будем называть определение, приведенное в этом разделе, ограниченным (в [378] я предлагал иной термин: микроканоническое определение).

СТВОРОЖЕННАЯ СЛУЧАЙНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ПЫЛЬ

Более удобное определение створаживания (предложенное в [378], где я называю его каноническим) можно получить с помощью последовательности случайных двоичных выборов, каждый из которых определяется простым броском монеты. Бросок монеты на первом этапе решает последующую судьбу каждого из Ъ подынтервалов. Если выпадает орел (событие с вероятностью р < 1), то данный подынтервал «выживает» как часть предтворога; в противном случае мы с ним больше не встретимся. Изолированные точки, остающиеся между «мертвыми» подынтервалами любой длины, после каждого этапа стираются. Здесь, конечно, от них вреда немного, однако их плоскостные или пространственные аналоги (изолированные линии и т. д.) порождают в множестве ложную связность. Ожидаемое количество выживших подынтервалов

23 о Случайный творог

301

равно (N) = рЪ = р/r. Далее процесс возобновляется, причем каждый подынтервал обрабатывается независимо от других.

Формализм процесса рождения. Если назвать подынтервалы «детьми», а весь каскад — «семьей», то сразу станет ясно, что распределение количества детей определяется известным процессом рождения и гибели (см. [196]).