Вообще говоря, в примерах, стимулировавших это обобщение, последовательность д (£) либо действительно случайна, либо ведет себя так, словно является случайной. К рассмотрению случайности мы с вами приступим только в следующей главе, однако я не думаю, что это обстоятельство может нам помешать. Гораздо серьезнее другое: динамические системы представляют собой воплощенный образчик полностью детерминированного поведения, и поэтому просто не вправе допускать какую бы то ни было случайность! Мы, однако, можем ввести воздействие случайности, не постулируя ее явно — нам нужно лишь присвоить функции д (£) значение какого-нибудь в достаточной степени перемешивающего эргодического процесса. Возьмем, например, иррациональное число /3 и сопоставим функции д (£) целую часть числа <т^ (£) = /3*сгт (0). Здесь стоило бы сделать еще несколько заявлений, принципиально не сложных, но весьма громоздких, так что я, пожалуй, от этого воздержусь.

РОЛЬ «СТРАННЫХ» АТТРАКТОРОВ

Сторонники «странных» аттракторов выдвигают в свою защиту следующие два соображения. А). Поскольку динамические системы со стандартными аттракторами не в состоянии объяснить турбулентность, то, может быть, ее удастся объяснить с помощью систем с аттракторами, топологически более «странными». (Это напоминает мое собственное

280

Самоотображающиеся фракталы о VI

рассуждение (см. главу 11) — высказанное, кстати, совершенно независимо от приведенного — о том, что если дифференциальное уравнение не имеет стандартных особенностей, следует попытать счастья с особенностями фрактальными.) Б). Аттракторы до смешного простых систем — таких, как г —> \х (1 — £) при вещественных Л и г в интервале [0, 1] — действительно странны и во многих отношениях характерны для более сложных и более реалистичных систем. Таким образом, топологически странные аттракторы, вне всяких сомнений, являются, скорее, правилом, нежели исключением.

«ФРАКТАЛЬНЫЕ» ИЛИ «СТРАННЫЕ»?

Все известные «странные» аттракторы представляют собой фрактальные множества. Для многих «странных» аттракторов существуют оценки размерности И. Во всех случаях И > Ит- Следовательно, эти аттракторы суть не что иное, как фрактальные множества. Во многих случаях размерность £> «странно-аттракторных» фракталов служит мерой не иррегулярности, а того, как накладываются друг на друга гладкие кривые или поверхности — своего рода фрагментации (см. главу 13).