ОБРАЩЕНИЕ «ВРЕМЕНИ»

Дальнейшие поиски систем с интересными фрактальными аттракторами привели меня к системам, аттракторы которых геометрически стандартны, а вот репеллеры оказываются весьма занятными. Эти два множества легко можно поменять местами, тем самым пустив время вспять, при условии, что операции динамической системы допускают существование обратных операций (орбиты не сливаются и не пересекаются), так что, зная положение точки а (£), можно определить все а (£') при £' < £. Однако данные конкретные системы, которые мы хотим обратить во времени, представляют собой особый случай. Их орбиты похожи на реки: в направлении вниз по склону их путь однозначно определен, вверх же по склону — каждая развилка требует особого решения.

Попытаемся, например, обратить У-преобразование / (ж), с помощью которого мы получили канторову пыль в главе 19. При х > 1,5 определены две различные обратные функции, и можно, пожалуй, условиться преобразовывать все х > 1,5 в х = 1/2. Аналогичным образом, две различные обратные функции имеет отображение х —> Ах (1 — х).

20 о Фрактальные аттракторы и фрактальные эволюции

279

В обоих случаях осмысленная инверсия предполагает выбор между двумя функциями. В других примерах возможных вариантов больше. Напомню: нам нужно, чтобы выбор между ними осуществлялся посредством отдельного процесса. Эти соображения приводят нас к обобщенным динамическим системам, которые и будут описаны в следующем разделе.

РАЗЛОЖИМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [398]

Потребуем, чтобы одна из координат состояния а (£) (назовем ее определяющим индексом и обозначим через сгт (£)) эволюционировала независимо от состояния остальных Е — 1 координат (обозначим это состояние через а* (4)), при условии, что преобразование из состояния а* (£) в состояние а* (£ + 1) будет определяться как состоянием а* (£), так и индексом <т^ (£). В тех примерах, которые я изучил наиболее подробно, конкретное преобразование а* (£) —> а* (£+1) выбирается из конечного набора, включающего в себя (7 различных возможностей 1д, причем выбирается в соответствии со значением некоторой целочисленной функции д ({) = 7 [<т^ (£)]. Иными словами, я рассматривал динамику произведения о*-пространства на некоторое конечное индексное множество.