Предыдущая Следующая
Согласно П. Грассбергеру (источник — препринт статьи), аттрактор Л\ отображения х —> \х (1 — х) при вещественных А аналогичен множеству Сп, но с двумя различными коэффициентами подобия, одним из которых является коэффициент Фейгенбаума 1/а ~ 0, 3995 ... (см. [144]). После бесконечного количества бифуркаций этот аттрактор превращается во фрактальную пыль А с размерностью И ~ 0, 538.
«Хаос». Ни одна точка множества А за конечный промежуток времени не посещается дважды. Многие авторы описывают эволюции на фрактальных аттракторах как «хаотические».
< Самоаффинные деревья. Расположив множество А\ в плоскости (х, А), получим дерево. Поскольку 5 ~ 4,6692 ф а, это дерево асимптотически самоаффинно с остатком. ►
Комментарий. В идеале теории следовало бы сосредоточиться на интересных по своей сути и реалистичных (но простых) динамических системах, аттракторами которых являются подробно изученные фрактальные множества. Имеющаяся же литература по странным аттракторам — пусть даже она чрезвычайно значима — весьма далека от этого
278
Самоотображающиеся фракталы о VI
идеала. Рассматриваемые в ней фракталы, как правило, недостаточно хорошо изучены, очень немногие из них действительно интересны, а большинство никак нельзя считать решениями сколь бы то ни было мотивированных задач.
Поэтому я был вынужден самостоятельно изобретать «динамические системы», которые бы поставили новые вопросы — для того, чтобы получить на них давно известные и удобные ответы. Я придумывал задачи таким образом, чтобы их решениями стали знакомые фракталы. Больше всего меня удивляет то, что эти системы оказались еще и интересными.
САМОИНВЕРСНЫЕ АТТРАКТОРЫ
Согласно главе 18, множества С в цепях Пуанкаре являются как наименьшими самоинверсными, так и предельными множествами. Переформулируем последнее свойство: при произвольно выбранной начальной точке Ро ее преобразования под действием последовательности инверсий подходят произвольно близко к каждой точке множества С Предположим теперь, что эта последовательность инверсий выбирается посредством отдельного процесса, независимого от настоящего и предыдущего положений точки Р. При довольно широком разбросе начальных условий всегда можно ожидать (и часто эти ожидания оправдываются), что результирующие последовательности положений Р будут притягиваться множеством С. Таким образом, огромное количество публикаций по группам, порождаемым инверсиями, можно интерпретировать в терминах динамических систем. Предыдущая Следующая
|