Основное различие между такими системами заключается в геометрическом распределении значений а (£) при больших значениях £. Принято говорить, что динамическая система имеет аттрактор, если существует некое правильное подмножество Л фазового пространства К^, обладающее следующим свойством: при почти любой начальной точке а (0) и достаточно большом £ точка а (£) оказывается в малой окрестности какой-либо точки, принадлежащей Л.

ПОНЯТИЕ РЕПЕЛЛЕРА

Мы можем также поместить наш шарик в положение неустойчивого равновесия — например, на кончике карандаша. Если начальное положение не совпадает в точности с точкой равновесия, то шарик словно отталкивается прочь и достигает состояния устойчивого равновесия где-то в другом месте.

Множество всех положений неустойчивого равновесия (вместе с их предельными точками) называется отталкивающим множеством, или репеллером.

Во многих случаях аттракторы и репеллеры меняются местами при смене знаков в уравнениях. Имея дело с силой тяжести, достаточно изменить направление ее действия. Рассмотрим, например, в основном

20 о Фрактальные аттракторы и фрактальные эволюции

277

горизонтальную поверхность с прогибами в обоих направлениях. Предположим, что сила тяжести направлена вниз, поместим шарик на верхней стороне поверхности и обозначим притягивающий прогиб буквой А, а отталкивающий — буквой Д. Если теперь поместить шарик на нижней стороне поверхности и предположить, что сила тяжести направлена вверх, то прогибы А и К поменяются местами. В этой главе такие обмены играют центральную роль.

ФРАКТАЛЬНЫЕ АТТРАКТОРЫ. «ХАОС»

Большая часть элементарной механики имеет дело с динамическими системами, аттракторами которых являются точки, почти окружности и другие фигуры евклидовой геометрии. Однако в действительности такие фигуры представляют собой редкие исключения, и поведение большинства динамических систем несравнимо более сложно: их аттракторы и репеллеры имеют явную тенденцию к фрактальности. В нескольких следующих разделах описываются примеры систем с дискретным временем, Д£ = 1.

Аттрактор-пыль. Коэффициент Фейгенбаума а. Простейший пример можно получить с помощью возведения в квадрат (см. главу 19). В качестве вступления рассмотрим еще одно представление канторовой пыли С: N = 2, г < 1/2, охватываемый интервал [—г/(1 — г), г/(1 — г)]. Такое множество С является пределом множества Сп, определяемого как множество точек вида ±г ± г2 ± ... ± г™. При п —> п + 1, каждая точка множества Сп разделяется на две, а множество С представляет собой результат бесконечного количества таких бифуркаций.