Так как преобразования с аттракторами нелинейны, наблюдаемые фракталы, скорее всего, окажутся не самоподобными. Это замечательно: мне кажется, что использование фрактального аналога прямой для описания феноменов, управляемых нелинейными уравнениями, выглядит несколько парадоксально. Масштабно-инвариантные фракталы, хорошо объясняющие естественные феномены, могут выступать лишь как локальные приближения нелинейных фракталов.

ПОНЯТИЕ АТТРАКТОРА

Настоящая глава опирается, по большей части, на одно давнее и весьма основательно позабытое наблюдение Анри Пуанкаре: «орбиты» нелинейных динамических систем имеют свойство притягиваться к странным множествам, которые я определяю как нелинейные фракталы.

Рассмотрим для начала простейший аттрактор — точку. «Орбита», определяемая движением маленького шарика после помещения его в воронку, начинается с некоторой спиралевидной траектории, точная форма которой зависит от исходных положения и скорости шарика, однако в

276

Самоотображающиеся фракталы о VI

конце концов сходится к горловине воронки; если диаметр шарика превышает диаметр отверстия воронки, то он там и останется. Для нашего шарика начало горловины воронки является устойчивой точкой равновесия, или устойчивой неподвижной точкой. В рамках достаточно удобной альтернативной описательной терминологии (которую, естественно, не следует интерпретировать с антропоцентрических позиций) горловину воронки можно назвать притягивающей точкой, или аттрактором.

В физической системе устойчивыми и притягивающими могут быть также окружность или эллипс. Например, мы все полагаем (и даже пламенно надеемся — хотя никто из нас не проживет достаточно долго для того, чтобы это имело хоть какое-то значение), что солнечная система устойчива, подразумевая, что если орбите Земли и суждено претерпеть какие-либо возмущения, то она в конце концов «притянется» назад на свою теперешнюю колею.

В более общем виде, динамическую систему принято определять следующим образом: состояние системы в момент времени £ представляется точкой а (£) на прямой, в плоскости, либо в некотором более многомерном евклидовом «фазовом пространстве» К , а ее эволюция между моментами £ и £ + Д£ определяется правилами, в которые величина £ явным образом не входит. Любую точку в фазовом пространстве можно принять за начальное состояние а (0) при £ = 0, а за ней последует орбита, определяемая функцией а (£) для всех £ > 0.