Чтобы получить умеренно упитанного дракона — ни чрезмерно тучного, ни слишком костлявого, — следует поместить точку Л внутри отростка на некотором расстоянии от его корня. Красиво перекрученные драконы получаются, когда точка Л лежит около одного из двух суботростков, соответствующих порядку бифуркации от 4 до 10: один из суботростков дает изгиб влево, другой — вправо.

Рис. 271 (вверху справа). «Истощенный дракон». Дракон, испытавший на себе бесконечное число бифуркаций, теряет всю свою плоть и ссыхается в скелетообразную разветвленную кривую.

Если множество не расходится в бесконечность, его топологическая размерность равна 0 (для пылевидных множеств Фату), 1 (для недоедающих драконов) и 2 (для всех остальных драконов).

Рис. 271 (внизу), гг-дракон. Это множество связно, точка Л лежит на большом «прибрежном острове» с рис. 269 (внизу).

Рис. 270. Особый предел А = 1. Драконы Пеано. Выберем точку Л на острове, расположенном недалеко от связи при в = 2ж/п. При п —> сю величина 8^0; следовательно, Л стремится к 1. Форма соответствующего дракона неизбежно должна устремиться к форме двустворчатой раковины (образующей основание задрапированной фигуры на рис. 266). Однако между п = со и п очень большим, но конечным, имеется все же качественное различие.

По мере того, как п —> со, растет число конечностей дракона, его шкура сминается, а ее размерность при этом возрастает. Вся конструкция представляется этаким «драконом-отшельником», пытающимся забиться внутрь двустворчатой раковины Л = 1 и способным заполнить всю ее внутреннюю область без остатка, т. е. размерность дракона стремится к D = 2. Что же получается? Самоквадрируемая кривая Пеано? Безусловно; однако, как нам известно из главы 7, кривые Пеано вовсе не являются кривыми. Так происходит и здесь: по достижении размерности D = 2 наш дракон прекращает свое существование в виде кривой и перевоплощается в область плоскости. ■

Рис. 273. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ САМОКВАДРИРУЕМЫЕ ПЫЛЕВИДНЫЕ МНОЖЕСТВА ФАТУ НА ИНТЕРВАЛЕ [0, 1]

Работа Фату [139] представляет собой истинный шедевр в рамках того странного литературного жанра, который называется «заметки в «Отчетах» Парижской Академии наук». Задача пишущего в этом жанре часто сводится к тому, чтобы раскрыть по возможности меньше, но при этом создать впечатление, что автор учел все, что только можно было учесть.