Среди прочих восхитительных откровений, которые лучше всего понимаешь только после тщательного самостоятельного изучения, Фату отмечает следующее: когда число А вещественно и либо А > 4, либо А < —2, наибольшее ограниченное множество, остающееся инвариантным при преобразовании х —> f (х) = \х (1-х), представляет собой пыль, заключенную в интервале [0, 1]. На рисунке показана форма этой пыли при А > 4. По вертикальной оси откладывается величина —4/А в интервале от —1 до 0. Черные интервалы отмечают концевые точки трем порядка от 1 до 5. Концевые точки х\ и Х2 средней тремы являются решениями уравнения Ах (1 — х) = 1; на рисунке они образуют параболу. Тремы второго порядка оканчиваются в точках х\, г, £1,2, ^2,1 и Х2,2 — таких, что Ххт) „ (1 — хт< „) = хт, и так далее.

Мне думается, что эта замечательная связь между пылевидными множествами, подобными канторовым, и одной из элементарнейших функций заслуживает самой широкой известности, не ограниченной узким кругом специалистов. ■

20 о ФРАКТАЛЬНЫЕ АТТРАКТОРЫ И ФРАКТАЛЬНЫЕ («ХАОТИЧЕСКИЕ») ЭВОЛЮЦИИ

Эта глава имеет своей целью познакомить читателя с одной теорией, которая развивалась вне всякой связи с фрактальными множествами и все же оказалась буквально пронизана ими. Чаще всего ее называют «теорией странных аттракторов и хаотической (или стохастической) эволюции», однако в тексте главы вы, я надеюсь, найдете причины, побудившие меня дать этой теории новое имя (см. заголовок).

Для того, чтобы попасть в настоящее эссе, упомянутой теории достаточно было всего лишь быть так или иначе связанной с фракталами; я же считаю оправданным посвятить ей целую главу. Первое оправдание (практическое): эта теория почти не требует какого бы то ни было особого представления, так как большую часть ее основных положений можно рассматривать просто как новую интерпретацию выводов, полученных нами в главах 18 и 19.

Во-вторых, теория фрактальных аттракторов помогает — путем противопоставления — прояснить некоторые особенности фрактальной геометрии природы. В самом деле, моя работа связана, в основном, с формами, присутствующими в реальном пространстве, с формами, которые можно увидеть, пусть даже и в микроскоп; теория аттракторов же имеет дело исключительно с эволюцией во времени расположения неких точек в невидимом и абстрактном репрезентативном пространстве.