Каждому атому сопоставлено некоторое целое число т, его «период». Когда точка ц лежит внутри атома периода ги, итерации /* (г) уходят в бесконечность или образуют устойчивый предельный цикл, состоящий из IV точек. Внутри атома периода ги справедливо неравенство \/ш (г/л)\ < 1> где 2М — любая точка предельного цикла, соответствующего данному р. На границе атома \f'^' (г1Л)\ = 1, причем равенство (г^) = 1 описывает точку заострения, или «корневую» точку. Каждый атом содержит точку (назовем ее «ядром»), в которой выполняются равенства /*' = 0 и /* (0) = 0.

О ядрах, расположенных на вещественной оси, впервые сообщил Мирберг в 1962 г. [440]; после этого они всплыли лишь в 1973 г. (см. [430]). Соответствующие отображения часто называют «сверхустойчивыми» (см. [83]).

Если рассматривать равенство (0) = 0 как алгебраическое уравнение относительно ц, то его порядок равен 2И'~1. Следовательно, может существовать не более 2г"~1 атомов периода ги; в действительности их меньше, за исключением случая ги = 1. При ги = 2 уравнение /| (0) = 0

19 о Канторова пыль и пыль Фату. Самоквадрируемые драконы

263

имеет два корня, однако один из них уже является ядром «предыдущего» атома периода 1. В более общем виде все корни уравнения (0) = 0 являются также корнями уравнения /£т (0) = 0, где к — целое число, большее 1. Заметим далее, что каждая рациональная граничная точка, расположенная на границе атома периода т и удовлетворяющая условию = ехр(27тгш/п), где т/п — неприводимое рациональное число, меньшее 1, заключает в себе «принимающую связь», готовую присоединить атом периода пии. Как следствие, некоторые новые атомы соединяются с существующими принимающими связями. Однако в этот процесс оказываются вовлечены не все новые атомы, и оставшимся не остается ничего иного, как послужить затравкой для новых молекул. Таким образом, число молекул бесконечно.

Когда значение ц непрерывно изменяется внутри молекулы, каждое направленное наружу прохождение связи ведет к бифуркации: ги умножается на п. Пример: увеличение вещественного ц приводит к мирбергову удвоению периода. Инверсия бифуркации, которую я рассматриваю в [398] и называю слиянием, должна прекратиться по достижении периода затравки молекулы. Молекула-континент является областью слияния в с = 1, а каждая молекула-остров является областью слияния в с > 1. Форма дракона или субдракона регулируется значениями Ом) и и)/с.