Атомы. Открытая область внутри 5 разбивается на бесчисленное множество максимально связных множеств, которые я предлагаю называть «атомами». Границы двух атомов либо совсем не пересекаются, либо имеют одну общую точку (назовем ее «связью»), которая принадлежит 5.

Топологическая размерность. Когда точка р лежит вне области, ограниченной кривой 5, наибольшим ограниченным самоквадри-руемым множеством является пыль (пыль Фату). Если же р находится внутри 5 или является связью, то таким наибольшим множеством будет область, ограниченная некоторой самоквадрируемой кривой. Из принадлежащих 5 точек р по крайней мере несколько дают древовидную кривую.

Самоквадрируемые фракталы. Если верить слухам, то фрак-тальность вышеупомянутых пылей и кривых при р ф 0 была полностью доказана Деннисом Салливеном и для некоторых других случаев, и я ничуть не сомневаюсь, что такое доказательство осуществимо для всех случаев без исключения.

1В настоящее время общепринят термин фрактал (или множество) Мандельброта. — Прим. ред.

262

Самоотображающиеся фракталы о VI

Форма самоквадрируемой пыли или кривой изменяется непрерывно вместе с ц; следовательно, размерность И должна быть гладкой функцией от ц.

Ветвление. Когда Л находится внутри одного из открытых пустых дисков, изображенных на рис. 269 (вверху), самоквадрируемая кривая будет простой замкнутой кривой (петлей без ветвления), как на рис. 264 и 266.

Когда А принадлежит окружностям |А| = 1 или А—2| = 1 или лежит в окружающей их открытой связной области, самоквадрируемая кривая имеет вид разветвленной сети с тремами, ограниченными фрактальными петлями, как драконы на рис. 270.

Когда же А лежит внутри молекул-островов, которые, как мы вскоре покажем, являются областями нестремления к точке (1,0), самоквадрируемая кривая представляет собой либо сг-петлю, либо а-дракона, как на рис. 271 (внизу). Новой петли а не вводит.

/^-АТОМЫ И /^-МОЛЕКУЛЫ

При дальнейшем исследовании параметрического отображения нам будет удобнее пользоваться параметром р. д-атом может иметь сердцевидную форму — в этом случае он является «затравкой», с которой связывается бесконечное множество атомов овальной формы (как непосредственно, так и через атомы-посредники). Совокупность взаимно связанных атомов и связей между ними образует «молекулу». Точка заострения затравки связью не бывает никогда.