ВЕЩЕСТВЕННЫЕ САМОКВАДРИРУЕМЫЕ ПЫЛЕВИДНЫЕ МНОЖЕСТВА ФАТУ

Произведя на свет всем хорошо знакомый конечный продукт (а именно — канторову пыль), У-преобразование значительно облегчило нам задачу по изложению сути удивительного, однако никогда не пользовавшегося широкой известностью открытия Пьера Фату. Допустив, что число Л вещественно и удовлетворяет неравенству А > 4, Фату [139] исследует наибольшее из ограниченных множеств на М, остающихся инвариантными при преобразовании /(х). Это множество, которое я называю вещественной пылью Фату, можно считать близким родственником канторовой пыли. Дальнейших объяснений оно не требует; что касается портрета, то он представлен на рис. 273.

В комплексной плоскости при вышеуказанных значениях А наибольшим ограниченным самоквадрируемым множеством остается вещественная пыль Фату.

19 о Канторова пыль и пыль Фату. Самоквадрируемые драконы

261

САМОКВАДРИРУЕМЫЕ КРИВЫЕ ЖЮЛИА НА ПЛОСКОСТИ [398]

Положив р = О, получаем простейшую самоквадрируемую кривую — окружность \г\ = 1. При преобразовании г —> г2 кольцо, однократно опоясывающее окружность, растягивается в кольцо, опоясывающее эту же окружность дважды, причем «пряжка» при г = 1 остается неподвижной. Соответствующая наибольшая ограниченная самоквадри-руемая область — диск \г\ < 1.

Однако введение вещественного р ф 0 (см. рис. 264 и 266) или любого комплексного р (рис. 271 и 270) открывает настоящий ящик Пандоры, доверху набитый бесчисленными возможностями, имя которым фрактальные кривые Жюлиа. Они радуют глаз в той же степени, в какой дают пищу для ума.

Сепаратор 5. Топология наибольшего ограниченного самоквад-рируемого множества зависит от того, где расположена точка р по отношению к открытой мною разветвленной кривой 5, которую я теперь называю сепаратором1. Сепаратор — это связная граница черной фигуры на рис. 268 (внизу); иначе говоря, это некая «предельная лемниската», т. е. предел при п —> сю алгебраических кривых, называемых лемнискатами и определяемых выражением |/* (0)| = Я, где Я есть некоторое большое число. Структура кривой 5 показана на рис. 269.