Вряд ли кто при первом знакомстве с канторовым множеством смог избежать искушения предположить, что оно в конечном итоге сходится к концевым точкам открытых пустых областей. Тем не менее, такое предположение весьма далеко от истины, поскольку множество С содержит, по определению, все пределы последовательностей концевых точек пустот.

Этот факт не считается интуитивно очевидным. Я (равно как и мои соратники и единомышленники) вполне понял бы, если бы наш многострадальный старый знакомец Ганс Хан внес эти предельные точки в свой список концепций, существование которых может оправдать лишь холодная логика. Однако из настоящего обсуждения мы с вами вынесем интуитивное доказательство того, что упомянутые предельные точки обладают сильными и отличными от других индивидуальностями.

Например, точка х = 3/4, которую функция / (х) оставляет неизменной, не принадлежит ни какому-либо из интервалов средней трети, ни границе какого-либо из этих интервалов. Итерации точек вида х = (1/4)/3/с сходятся к точке х = 3/4. Кроме того, существует бесконечное множество предельных циклов, каждый из которых состоит из конечного числа точек. Множество С содержит также точки, преобразования которых бесконечно перемещаются вокруг него самого.

260

Самоотображающиеся фракталы о VI

ГЕНЕРАТОР КВАДРАТОВ

Производящая функция / (х) преобразования «перевернутое V», используемая в предыдущих разделах, была выбрана из-за того, что она дает знакомый нам результат. Однако полученная с ее помощью канто-рова пыль выглядит несколько надуманной. Заменим ее функцией

х —> / (х) = Хх (1 — х),

неожиданное богатство свойств которой было впервые замечено Фату [139]. Сдвинув точку начала координат, изменив масштаб оси х и положив р = Л2/4 — А/2, можно записать эту функцию в следующем виде:

х —> /* (х) = х2 — /I.

Исходя из соображений удобства, мы будем использовать то / (х), то /* (а;).

Мне представляется уместным назвать функцию / (х) (или /* (х)) генератором квадратов. Возведение в квадрат является, безусловно, алгебраической операцией, однако здесь оно получает геометрическую интерпретацию, поэтому множества, которые оно оставляет инвариантными, можно называть самоквадрируемыми. Строго говоря, возведение в квадрат заменяет точку абсциссы с координатой х точкой абсциссы с координатой х2. Таким образом, самоквадрируемых точек на оси всего три: х = оо, х = 0 и х = 1. Может показаться, что добавление — р едва ли способно что-либо в этом изменить, однако на самом деле оно открывает множество самых неожиданных возможностей, рассмотрением которых мы и займемся ниже.