= {1/2- \х-1/2\}/г, где г = 1/3.

Точнее, мы многократно повторяем это самоотображение вещественной оси, при этом исходное значение хо «размазано» по оси х, а окончательные значения сводятся к точке х = — со и канторовой пыли С. Неподвижные точки i=0n = 3/4 принадлежат С.

Набросок доказательства инвариантности множества С. Поскольку / (х) = Зх при х < 0, итерации всех точек xq < 0 сходятся к —со прямо, т. е. всегда справедливо неравенство хп < 0. Для точек хо > 1 прямой сходимости предшествует один предварительный этап, так как Хк < 0 для всех к ^ 1. Для точек в пустой области 1/3 < хо < 2/3 предварительных этапов будет два, так как х\ > 0, но Хк < 0 для всех к ^ 2. Для точек в пустых областях 1/9 < хо < 2/9 или 7/9 < Хо < 8/9 предварительных этапов будет уже три. В более общем виде это выглядит так: если интервал ограничен пустой областью, которая отправляется в бесконечность после к предварительных этапов, то средняя треть (открытая) этого интервала отправится прямо в —со после (к + 1)-го этапа. Однако ни одна точка множества С не уходит в —со.

19 о Канторова пыль и пыль Фату. Самоквадрируемые драконы 259

КОНЕЧНОСТЬ ВНЕШНЕГО ПОРОГА

Для того, чтобы распространить эти выводы на обобщенную кан-торову пыль с N = 2 и г в интервале от 0 до 1/2, достаточно вставить желаемое значение г в выражение / (ж) = {1/2 — \х — 1/2|}/г. Если вы хотите получить какую-либо другую пыль, вам нужно лишь проследить, чтобы график функции / (х) имел соответствующую зигзагообразную форму.

Однако аналогичного метода для экстраполяции канторовой пыли на всю вещественную ось не существует. Это — частное проявление одного очень общего свойства: нелинейная функция / (х), как правило, заключает в себе некоторый конечный внешний предел Г2. Для линейных же преобразований (подобий и аффинностей), как нам хорошо известно, характерен порог £1 = оо; при возникновении необходимости в конечном пороге его приходится вводить искусственно.

АНАТОМИЯ КАНТОРОВОЙ ПЫЛИ

Из главы 7 нам известно, что множество С является очень «разреженным», и все же поведение итераций / (х) приводит к лучшему пониманию тонких различий между его точками.