Удобнее всего получать упомянутые инвариантные формы с помощью итераций (т. е. многократных применений) одного из вышеуказанных преобразований. Исходные значения мы будем обозначать через хо или го, а результаты к-й итерации функции /* — через хк или г^.

Хронологически изучение итераций можно разделить на три этапа. Первый, связанный с комплексной переменной г, прошел под знаменами Пьера Фату (1878-1929) и Гастона Жюлиа (1893-1978). Их публикации являются шедеврами классического комплексного анализа, ими восхищаются математики, однако на их фундаменте чрезвычайно сложно что-нибудь построить. В своей работе, о которой данная глава дает лишь весьма сжатое представление, я стараюсь придать большую наглядность их основным открытиям, объединяя анализ с физикой и подробными иллюстрациями, в результате чего обнаруживается великое множество неизвестных ранее фактов.

Последовавшее за этими открытиями возрождение помогло установить тесную связь свойств итераций с теорией фракталов. Из того факта, что находки Фату и Жюлиа оказались недостаточно проработаны для того, чтобы стать основой теории фракталов, мы можем сделать вывод, что даже классический анализ нуждается иногда в наглядности и

258

Самоотображающиеся фракталы о VI

интуитивной понятности, причем компьютерное моделирование может оказать ему в этом смысле серьезную помощь.

Следующий, промежуточный, этап включает в себя исследования Мирбергом итераций вещественных квадратичных отображений Ш (см., например, [440]), а также труды Штейна и Улама [538] и Бролина [55].

На текущем этапе исследователи, по большей части, игнорируют прошлое и сосредоточивают свои усилия на отображениях интервала [0, 1] в себя (за подробностями рекомендую обратиться к обзорам [180], [209], [83], [144] и [219]). В последнем разделе главы рассматривается показатель 8 по [179] и [142]: доказывается, что существование 5 следует из более явного свойства итераций в комплексной плоскости (т. е. их фрактальности).

ВОЗМОЖНОСТЬ ПОЛУЧЕНИЯ КАНТОРОВОЙ пыли ПОСРЕДСТВОМ НЕЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Из главы 8 нам известно, что троичная канторова пыль С инвариантна при преобразованиях подобия, если коэффициент подобия имеет вид 3 . Это самоподобие является, безусловно, очень важным свойством, однако его недостаточно для определения С. Напротив, мы можем полностью определить множество С как наибольшее ограниченное множество, инвариантное при следующем нелинейном преобразовании («перевернутое V»):