Предыдущая Следующая
 Рис. 255. ЗНАМЕНИТЫЙ САМОИНВЕРСНЫЙ ФРАКТАЛ, ИСПРАВЛЕННЫЙ ВАРИАНТ (ПОСТРОЕНИЕ МАНДЕЛЬБРОТА)
Рисунок вверху слева воспроизводит рис. 156 из книги Фрик-ке и Клейна [154], который призван изображать самоинверсный (в моей терминологии) фрактал, генератор которого состоит из пяти окружностей, ограничивающих центральную область (она показана черным цветом). Этот рисунок весьма часто появляется в математической литературе.
 Действительной формой этого фрактала является контур фигуры, изображенной вверху справа; фигура эта построена с помощью моего метода оскулирующих <т-дисков. Расхождение, конечно, ужасное. Фрик-ке знал, что кривая С должна содержать окружности, и велел иллюстратору включить их в рисунок. Обо всем остальном он не знал и, очевидно, даже не подозревал, насколько иррегулярной фигуры ему следует ожидать.
В действительности кривая С включает в себя границу С* фигуры, построенной справа внизу с использованием моего алгоритма. Эта граница С* представляет собой самоинверсный фрактал, соответствующий четырем из тех порождающих окружностей, что образуют цепь Пуанкаре. Ясно видно, что преобразования С* при иных инверсиях принадлежат С. Этот рисунок подробно рассмотрен в работе [400].
19 о КАНТОРОВА ПЫЛЬ И ПЫЛЬ ФАТУ. САМОКВАДРИРУЕМЫЕ ДРАКОНЫ
В этой главе мы рассмотрим два семейства очень простых нелинейных преобразований (или отображений) и исследуем несколько таких фрактальных множеств, которые при этих преобразованиях остаются инвариантными и для которых они могут служить генераторами.
Во-первых, дробно-линейное преобразование вещественной линии поможет нам лучше понять нашу старую знакомую — канторову пыль. Эти замечания, конечно, можно было вставить в главу 8, однако мне кажется, что они будут лучше восприняты на данном этапе.
Они, в частности, помогают оценить результаты вещественных и комплексных квадратичных преобразований вида х —> /* (х) = х2 — ц, где х и ц вещественны, и г —> /* (г) = г2 — ц, где г = х + гуир — комплексные числа.
Элементарный случай \х = 0 довольно скучен с геометрической точки зрения, однако другие значения ц ведут к потрясающим фрактальным красотам, многие из которых были впервые продемонстрированы в статье [398]. Предыдущая Следующая
|