Средняя фигура. Второе приближение области, внешней к кривой С, достигается добавлением к дискам Д123 и Д341 их инверсий относительно окружностей С а и С 2, соответственно. Результат (серая область) аналогичен второму приближению области, внешней к кривой К,, на рис. 71.

Соответствующее второе приближение внутренней области С достигается добавлением к дискам Д234 и Д412 их инверсий относительно окружностей С\ и Сз, соответственно. Результат (черная область) аналогичен второму приближению внутренней области кривой К, на рис. 71.

Нижняя фигура. Внешняя область С (серый цвет) является объединением кланов Д123 и Д341. Внутренняя же (черный цвет) — объединением кланов Д234 и Д412. Тонкая структура внутренней области С показана на рис. 255 внизу (при построении использованы разные цепи Пуанкаре). Черная и серая открытые области вместе покрывают всю плоскость (за вычетом кривой С).

Рис. 254. САМОГОМОГРАФИЧЕСКИЙ ФРАКТАЛ (ВБЛИЗИ ПРЕДЕЛА ПЕАНО)

Группы, основанные на инверсиях, интересуют математиков прежде всего потому, что они связаны с определенными группами томографии. Томография (называемая также томографией Мебиуса или дробно-линейным преобразованием) отображает ^-плоскость по закону г —> (ах + Ъ)/ (сх + с1), где ас1 — Ъс = 1. В наиболее общем виде эта томография может быть представлена как результат инверсии, симметрии относительно линии (что есть вырожденная инверсия) и вращения. Вот почему при отсутствии вращения исследователь томографии может почерпнуть много интересного из изучения групп, основанных на инверсиях. Очевидно, однако, что введение вращений открывает новые богатые возможности.

На рисунке изображен пример предельного множества С для группы томографии. Построил его Дэвид Мамфорд (в ходе исследований,

стимулом для которых послужили новые результаты, о которых говорится в данной главе), а затем любезно разрешил опубликовать свое построение в этой книге. Фигура эта почти заполняет плоскость и демонстрирует поразительные аналогии (и равно поразительные различия) с почти заполняющей плоскость кривой, изображенной на рис. 270.

Фрактальная природа предельного множества группы томографии в широком диапазоне условий была доказана Т. Акадзой, А. Ф. Бирдоном, Р. Боуэном, С. Дж. Паттерсоном и Д. Салливеном. См. [545]. ■