Любая окружность ограничивает два открытых диска (один из них содержит центр этой окружности, другой — точку в бесконечности). Открытые диски, ограниченные оскулирующими окружностями и не принадлежащие множеству С, мы будем называть оскулирующими дисками.

Случается и так, что одна или обе оскулирующие окружности вырождаются в точку.

Локальное и глобальное. Возвращаясь к стандартной оскуляции, заметим, что эта концепция является локальной, так как ее определение никак не зависит от формы кривой на каком-либо удалении от точки Р. Иными словами, кривая, касательная к ней и оскулирующая

18 о Самоинверсные фракталы, аполлониевы сети и мыло

249

окружность могут иметь сколько угодно точек пересечения кроме Р. Напротив, приведенное выше определение фрактальной оскуляции глобально, хотя это различие и не принципиально. Фрактальную оскуляцию можно определить и локально, причем с соответствующим расщеплением «кривизны» на два числа. Как бы то ни было, в нашей теперешней задаче глобальная и локальная оскуляции совпадают.

Оскулирующие треугольники. < С аналогом глобальной фрактальной оскуляции мы, если помните, уже встречались. Для того, чтобы определить внутреннюю область нашей старой знакомой снежинки Коха (кривой К.) как сг-треугольник, достаточно увеличивать треугольники, выкладываемые на каждом следующем этапе построения фигуры, изображенной на рис. 70, настолько, насколько это возможно без пересечения их со снежинкой. ►

сг-ДИСКИ, ОСКУЛИРУЮЩИЕ МНОЖЕСТВО с

Оскулирующие диски и <т-диски являются ключевыми фигурами в моем новом, свободном от перечисленных на с. 247 недостатков, способе построения множества С. Этот способ демонстрируется в полном виде впервые (хотя о нем уже упоминалось в 1980 г. в «Математическом календаре»1). Суть его в том, что следует инвертировать не сами окружности Ст, а некоторые из окружностей Г^, которые (согласно определению на с. 244) ортогональны триплетам Сі, С і и С к- Здесь мы опять полагаем, что не все окружности совпадают с одиночной окружностью Г.

Ограничение М = 4. Если ограничить число исходных окружностей М четырьмя, то мы сможем быть уверены в том, что для любого триплета і, ], к один из двух открытых дисков, ограниченных окружностью Т^к (т. е. либо внутренний, либо наружный), не содержит ни одной из точек 7тп, определенных на с. 247. Обозначим этот свободный от точек 7 диск через Д^ь