рисунке черным цветом показано несколько последовательных этапов построения, причем каждый из них наложен на результат предыдущего этапа, показанный белым цветом на сером фоне. В конце концов цепь истончается в нить, т. е. в С

К сожалению, некоторые звенья и после достаточно большого количества этапов остаются довольно крупными, и даже сильно продвинутые аппроксимации предельной цепи дают довольно слабое представление о множестве С Это неприятное свойство прекрасно иллюстрирует рисунок 255.

ПОНЯТИЕ О ФРАКТАЛЬНОЙ ОСКУЛЯЦИИ

Мой способ построения множества С основан на новом для нас понятии фрактальной оскуляции, которое расширяет рамки ее очевидного воплощения в аполлониевом случае.

248

Самоотображающиеся фракталы о VI

Стандартная оскуляция. Это понятие непосредственно связано с концепцией кривизны. Первым приближением стандартной кривой в окрестности регулярной точки Р является касательная прямая. Вторым приближением является окружность, касательная к которой в этой точке совпадает с упомянутой прямой, а кривизна — с кривизной кривой. Такая окружность называется оскулирующей.

Для различения окружностей, касательных к данной кривой в точке Р, очень удобно использовать параметр (обозначим его буквой и), который представляет собой инверсию интервала (произвольно ориентированного), соединяющего точку Р с центром окружности. Обозначим индекс оскулирующей окружности через щ. Если и < щ, то небольшой участок кривой с центром в точке Р целиком лежит с одной стороны касательной окружности, если же и > щ, то — с другой.

Величина щ есть то, что физики называют критическим значением, а математики — разрезом. Кроме того, значение |ио| определяет локальную «кривизну».

Глобальная фрактальная оскуляция. В случае аполлониевой сети попытка определить оскуляцию через кривизну лишена смысла. Однако в любой точке сети, где касательны две принадлежащие упаковке окружности, они очевидно «охватывают» остаток множества С, заключенный между ними. Возникает искушение назвать их обе окружности оскулирующими.

Для того, чтобы распространить это понятие на неаполлониевы множества С, выберем точку, в которой С имеет касательную, и возьмем в качестве отправной точки определение обыкновенной оскуляции, основанное на понятии критичности (или разреза). Новизна же заключается в том, что при —оо < и < +оо мы заменим одно критическое значение ио двумя различными значениями, и' и и" > и', которые определим следующим образом: при любом и < и' множество С целиком лежит с одной стороны нашей окружности, при любом и > и" — с другой, а при и' < и < и" части С находятся и с той, и с другой стороны окружности. Что же касается окружностей с индексами, равными и' и и", я предлагаю их обе считать фрактально оскулирующими.