МНОЖЕСТВО С В НЕФУКСОВЫХ ЦЕПЯХ ПУАНКАРЕ

Самоинверсные фракталы, получаемые при инверсиях относительно не столь особых конфигураций порождающих окружностей Ст, оказываются более сложными, чем любая аполлониева сеть. Чуть позже я познакомлю вас со своей собственной рабочей конструкцией, которая в большинстве случаев вполне удовлетворительно характеризует множество С. Она является большим шагом вперед по сравнению с предыдущим, предложенным Пуанкаре и Клейном, методом, который весьма громоздок и очень медленно сходится.

Однако старый метод также сохраняет свою значимость, поэтому я предлагаю рассмотреть его на примере особого случая. Пусть окружности Ст образуют конфигурацию, которую можно назвать цепью Пуанкаре; эта конфигурация представляет собой совокупность М окружностей Ст, расположенных по кругу и соответственно пронумерованных, так что окружность Ст касательна к Ст-\ и Ст+г (по модулю М) и не пересекает никаких других окружностей цепи. В этом случае множество С представляет собой кривую, которая разделяет плоскость на две области — внешнюю и внутреннюю. (Воздавая должное Камилю Жор-дану, который первым обнаружил неочевидность того, что плоскость можно таким образом разделить одной-единственной петлей, такие петли называются с тех пор кривыми Жордана.)

В случае, когда все окружности Ст ортогональны одной окружности Г, множество С совпадает с Г. Этот случай, называемый фуксовым, в настоящей главе не рассматривается.

Построение Пуанкаре для множества С. Ниже приводится полное описание общепринятого построения множества С и моего альтернативного варианта для случая особой цепи с М = 4, показанной на следующем рисунке.

Для получения С Пуанкаре и Клейн (см. [154]) поэтапно заменяют исходную цепь цепями, составляемыми из все возрастающего числа все

18 о Самоинверсные фракталы, аполлониевы сети и мыло

247

уменьшающихся звеньев. На первом этапе каждое звено С% заменяется инверсиями остальных звеньев Ст относительно С*; таким образом, получается, в общей сложности, М (М — 1) = = 12 меньших звеньев. Они показаны на рисунке справа вверху на фоне негативного изображения исходных звеньев. И так далее — на каждом этапе мы берем полученную на предыдущем этапе цепь и инвертируем ее относительно каждого из исходных звеньев С ',„. На