При более тщательном изучении мы увидим, что каждая окружность в сети преобразуется в одну из Г-окружностей, проходя через уникальную последовательность инверсий относительно окружностей С. Таким образом, принадлежащие аполлониевой сети окружности можно рассортировать на четыре клана, причем клан, нисходящий от окружности Гуь мы будем обозначать как бТцк-

ВЯЗАНИЕ СЕТЕЙ ИЗ ОДНОЙ НИТИ

Аполлониева салфетка и салфетка Серпинского (рис. 205) имеют одно важное общее свойство: дополнение салфетки Серпинского представляет собой объединение треугольников (<т-треугольник), а дополнение аполлониевой сети или салфетки есть объединение дисков (<т-диск).

Однако нам также известно, что салфетка Серпинского допускает альтернативное кохово построение, в котором конечные приближения являются терагонами (ломаными линиями) без самокасаний, а двойные точки появляются только в пределе. Это означает, что салфетку Серпинского можно построить, не отрывая карандаша от бумаги; через некоторые точки линия пройдет дважды, но она никогда не пройдет дважды по одному отрезку прямой.

Выражаясь метафорически, салфетку Серпинского можно связать из одной-единственной нити!

То же верно и для аполлониевой сети.

НЕСАМОПОДОБНЫЕ КАСКАДЫ И ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТИ

Круговые треугольники аполлониевой упаковки не подобны друг другу, следовательно, аполлониев каскад не самоподобен, а аполлониева сеть не является масштабно-инвариантным множеством. Сейчас следовало бы обратиться к определению Хаусдорфа-Безиковича для размерности £> (как показателя, определяющего меру), которое применимо к любому множеству, однако получение £> таким способом оказывается удивительно сложным делом. На данный момент наилучшим результа-

246

Самоотображающиеся фракталы о VI

том (см. работы Бойда [50, 51]) является следующий:

1, 300197 < В < 1,314534,

хотя его же последние (еще не опубликованные) численные эксперименты дают £) ~ 1, 3058.

В любом случае, поскольку И есть дробное число, а Ит = 1, апол-лониевы салфетка и сеть являются фрактальными кривыми. В данном контексте величина И представляет собой меру фрагментации. Если, например, «удалить» диски, радиус которых меньше е, то периметр оставшихся промежутков будет пропорционален £1~в, а площадь — пропорциональна е2~в'.