Если одну из аполлониевых окружностей первого поколения заменить на любую из заданных внутренних окружностей, предельное множество никак не изменится. < Если указанной аполлониевой окружностью заменить внешнюю заданную окружность, то построение начинается с трех заданных окружностей, внешних по отношению друг к другу, и одна из аполлониевых окружностей первого этапа окажется наименьшей окружностью, описанной вокруг трех заданных. По-

244

Самоотображающиеся фракталы о VI

еле такого нетипичного этапа построение продолжается так же, как описано выше, подтверждая то, что наш рисунок и в самом деле соответствует наиболее общему случаю. ►

Упаковка Лейбница. Аполлониева упаковка похожа на конструкцию, которую я называю круговой упаковкой Лейбница, так как, насколько мне известно, впервые она была описана в письме Лейбница к де Броссу: «Представьте себе окружность, а затем впишите в нее еще три окружности наибольшего возможного радиуса, конгруэнтные друг другу: повторите аналогичную операцию с каждой из этих окружностей и с каждым промежутком между ними. А теперь вообразите, что этот процесс продолжен до бесконечности... »

АПОЛЛОНИЕВЫ СЕТИ САМОИНВЕРСНЫ

Вернемся к началу построения аполлониевой сети: трем касательным окружностям. Добавим сюда любую из соответствующих аполло-ниевых окружностей и назовем получившиеся четыре окружности Г-окружностями. Все четыре показаны на нижеследующем рисунке жирными линиями.

Существует четыре комбинации из трех Г-окружностей (мы будем называть их триплетами), и каждой из них соответствует окружность, ортогональная каждой окружности триплета. Возьмем эти новые окружности в качестве генератора и обозначим через Сі, С2, Сз и С4 (на рисунке ниже они показаны тонкими линиями). А Г-окружность, ортогональную окружностям Сі, Cj и Си, обозначим как Г^.

18 о Самоинверсные фракталы, аполлониевы сети и мыло

245

Разделавшись с нудным развешиванием ярлыков, получаем заслуженную награду. Даже самое поверхностное рассмотрение показывает, что наименьшее (замкнутое) множество, самоинверсное по отношению к четырем порождающим окружностям Ст, представляет собой апол-лониеву сеть, построенную на четырех Г-окружностях. Любопытно, что об этом наблюдении никто явным образом не сообщает, хотя оно должно быть известно довольно широко.