Множество С можно свести к точке или окружности, однако в общем случае оно является фрагментированным и/или/ иррегулярным фрактальным множеством.

< Множество С стоит в мозаике особняком, как «множество бесконечно малых плиток». Оно играет по отношению к конечным элементам мозаики такую же роль, какую играют концы ветвей (см. главу 16) по отношению к самим ветвям. Однако здесь ситуация проще: подобно С мозаика X представляет собой самоинверсное множество без остатка. ►

АПОЛЛОНИЕВЫ СЕТИ И САЛФЕТКИ

Множество С называется аполлониевым, если оно состоит из бесконечного количества окружностей вместе с их предельными точками. В данном случае его фрактальность является исключительно следствием фрагментации. Этот прецедент был изучен и осмыслен (хотя и в несколько многословной манере) на раннем этапе истории предмета.

Сначала мы построим основной пример, а затем покажем его са-моинверсность. Аполлоний Пергский — это древнегреческий математик,

18 о Самоинверсные фракталы, аполлониевы сети и мыло 243

живший в III в. до нашей эры. Он был представителем александрийской школы и верным последователем Евклида и известен, помимо прочего, тем, что составил алгоритм построения пяти окружностей, касательных к трем заданным окружностям. В том случае, когда заданные окружности взаимно касательны, число аполлониевых кругов равно двум. Как мы вскоре убедимся, вполне можно предположить, не потеряв при этом в общности, что две из заданных окружностей являются внешними по отношению друг к другу, но содержатся внутри третьей.

Эти три окружности определяют два круговых треугольника, углы которых равны 0°. А аполлониевы окружности — это наибольшие окружности, какие можно вписать в эти треугольники.

Законченное аполлониево построение включает в себя пять окружностей, три заданных и две аполлониевых, которые вместе определяют шесть круговых треугольников. Повторяя вышеописанную процедуру, впишем в каждый треугольник наибольшую возможную окружность. Результат бесконечного повторения такой процедуры называется аполлониевой упаковкой. А если добавить к этой бесконечной совокупности окружностей ее предельные точки, то получится множество, которое я назвал аполлониевой сетью. Область сети, заключенную внутри кругового треугольника (как показано на рисунке) будем называть аполлониевой салфеткой.