Придерживаясь пока нехаотических групп, обсудим три самоинверсных множества, отобранных еще Пуанкаре, затем еще одно множество неясного происхождения и, наконец, пятое, важность которого я обнаружил самостоятельно.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МОЗАИКА ИЛИ ТАЙЛИНГ

Не многим из поклонников творчества Морица Эшера известно, что этот знаменитый рисовальщик частенько черпал вдохновение непосредственно из трудов «неизвестных» математиков и физиков (см. [89]). Вся его работа часто состояла в простом добавлении украшений к самоинверсным мозаикам, известным Пуанкаре и представленным на многочисленных иллюстрациях в [154].

Эти множества (обозначим их через I) получаются посредством объединения кланов самих окружностей Ст.

< Так как группа О нехаотична, дополнением объединенных кланов окружностей Ст является совокупность круговых многоугольников, называемых «открытыми плитками». Любую открытую плитку (или ее

242

Самоотображающиеся фракталы о VI

замыкание) можно трансформировать в любую другую открытую (или замкнутую) плитку посредством последовательности инверсий, принадлежащих группе Q. Иными словами, клан любой замкнутой плитки есть К*. Что более важно, клан любой открытой плитки есть дополнение множества I. AI является, так сказать «раствором», на который укладываются эти плитки. Плоскость R* самоинверсна. Множество Т и его дополнение также самоинверсны и образуют «гиперболическое разбиение» или «мозаику» на плоскости Ш*. (Английское слово tessellation, «мозаика», происходит от латинского tessera «квадрат», которое, в свою очередь, восходит к греческому теааарея «четыре», однако плитки вовсе не обязательно должны быть четырехугольными — подойдет любое число, большее 2.) А на рисунках Эшера каждая плитка украшена вдобавок причудливой картинкой. ►

ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО ИНВЕРСНОЙ ГРУППЫ

Самым интересным самоинверсным множеством является самое маленькое. Оно называется предельным множеством (и обозначается буквой С), поскольку является также множеством предельных точек преобразований любой исходной точки под действием операций группы Q. Оно принадлежит клану любой затравки S. Проясним формальное определение: множество С состоит из таких предельных точек, которые не могут быть получены конечным числом инверсий. На интуитивном уровне это множество можно представить как область скопления бесконечно малых потомков.