/ \\~-—меР' когда открытые ограниченные круги, гра-

' { \ ницами которых являются окружности Ст, не

( , ] \ пересекаются — существует окружность Г, ор-\ \/ \/ ) тогональная каждой из окружностей Ст. Если

^ ^---^—^ окружность Г существует, она совместно са-

моинверсна относительно С'т. Эти краткие сведения практически исчерпывают то, что стандартная геометрия способна нам поведать о самоинверсных множествах. Остальные самоинверсные множества фрактальны, и большинство из них можно назвать какими угодно, но никак не гладкими.

Рассмотрим теперь совокупность трех окружностей: С\, С2 и Сз. Обычно — напри-

18 о Самоинверсные фракталы, аполлониевы сети и мыло

241

Генератор. Самоинверсные множества. Как обычно, мы начинаем с генератора, который в данном случае состоит из некоторого (какого угодно) числа М окружностей Ст. Преобразования, представляющие собой последовательность инверсий относительно этих окружностей, составляют то, что алгебраисты назвали бы группой, порождаемой этими инверсиями; обозначим ее буквой 0. Для обозначения самоинверсного множества имеется и формальный термин: «множество, инвариантное под действием операций группы О».

Затравки и кланы. Возьмем любое множество 5 (назовем его затравкой) и добавим к нему преобразования множества 5 под действием всех операций группы 0. Результат, который мы назовем здесь кланом 5, является самоинверсным. Хотя, конечно, смотреть тут особо не на что. Например, если множество 5 представляет собой расширенную плоскость М* (т. е. плоскость К плюс точка в бесконечности), то клан 5 абсолютно идентичен множеству К* = 5.

Хаотические инверсные группы. Кроме того, может случиться так, что при некоторой заданной группе О, основанной на инверсиях, клан каждой области 5 покрывает всю плоскость целиком. В этом случае самоинверсное множество также должно представлять собой всю плоскость целиком. По причинам, которые прояснятся в главе 20, я предлагаю называть такие группы хаотическими. Нехаотическими группами мы обязаны Пуанкаре, однако они носят имя Клейна: дело в том, что Пуанкаре однажды ошибочно приписал какую-то из предыдущих работ Клейна Л. Фуксу; Клейн выразил протест, и Пуанкаре в знак примирения пообещал, что назовет свое следующее великое открытие именем Клейна — и ведь назвал!