Основой моего способа построения С послужили следующие наблюдения: все свободные от 7 диски А^к оскулируют С; таким же свойством обладают их инверсии и повторные инверсии относительно окружностей Ст, а кланы, построенные с применением дисков А^к в качестве затравок, заполняют всю плоскость за исключением кривой С.

На рис. 253 мы воспользуемся той же цепью Пуанкаре, какую вы уже видели на с. 247, но изобразим ее в более крупном масштабе. Как и в большинстве случаев, первый этап построения обрисовывает кривую С довольно точно. Последующие этапы весьма «эффективно» добавляют все более мелкие детали, и после нескольких этапов мы уже вполне

1 The 1981 Springer Mathematical Calendar. — Прим. перев.

250

Самоотображающиеся фракталы о VI

можем мысленно интерполировать кривую С, не отвлекаясь на ошибки, от которых, к сожалению, не свободен подход Пуанкаре.

ОБОБЩЕНИЯ

Цепи из пяти и более звеньев. В случае, когда число исходных звеньев в цепи Пуанкаре превышает четыре, мой новый способ построения множества С включает в себя дополнительный шаг: сначала следует разделить окружности Г на две группы. Дело в том, что некоторые из окружностей Г в этом случае таковы, что каждый из ограниченных ими открытых дисков содержит, по меньшей мере, одну точку 7т„, в результате чего диск оказывается не определен. Такие окружности Г не оскулируют кривую С, а пересекают ее. Однако для построения кривой они нам не нужны.

Остальные окружности определяют оскулирующие диски Д^ь которые, в свою очередь, также делятся на два класса. При добавлении к диску А^к первого класса его кланов мы получим внутреннюю область кривой С; проделав же такую операцию с диском, принадлежащим ко второму классу, получим внешнюю область С.

Это верно для многих (но не для всех) случаев, когда окружности Ст не образуют цепь Пуанкаре.

Перекрывающиеся и/или/ разорванные цепи. В случае, когда окружности Ст и Сп имеют две точки пересечения ^'тп и 7^„, эти точки совместно заменяют точку 7. Если же окружности Ст и Сп не имеют ни одной точки пересечения, 7 заменяется двумя взаимно инверсными точками ~/тп и 7^и. Критерий идентификации А^к становится при этом довольно громоздким, однако основная идея остается неизменной.