Эти природные объекты всем нам очень хорошо известны; более того, никакой другой объект не иллюстрирует столь же доступно идею фигуры, содержащей большое количество элементов различного линейного масштаба. К сожалению, деревья оказываются более сложными конструкциями, чем это может представиться на первый взгляд. Мы не рассматривали их раньше из-за одного простого обстоятельства, упомянутого в предыдущей главе: деревья не могут быть самоподобными. Самое большее, на что можно рассчитывать — это то, что самоподобие сохраняется на уровне концов ветвей; таким допущением мы и будем руководствоваться в этой главе. В дополнение к фрактальной размерности I? множества концов ветвей, деревья характеризуются еще одним параметром, который называется диаметрическим показателем и обозначается буквой Д. Когда дерево самоподобно с остатком, как в главе 16, показатель Д совпадает с размерностью £> множества концов ветвей. В противном случае Д и £> оказываются независимыми друг от друга характеристиками, и перед нами предстает образчик феномена, называемого биологами «аллометрией». Нам встретятся случаи как с Д = И, так и с Д < I).

Леонардо да Винчи пишет в своих «Заметках» (заметка №394): «Совокупная толщина всех ветвей дерева на любой высоте равна толщине ствола (ниже их)». Формальное выражение выглядит следующим образом: диаметры ветвей настоящего дерева до и после разветвления

ДИАМЕТРИЧЕСКИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ А

(<1, дь\ и йъ)

\ \ 6,

17 о Деревья и диаметрический показатель

225

удовлетворяют соотношению

с!л =с!л +с!л,

где Д = 2. Смысл этого выражения таков: если принимать во внимание толщину ветвей, настоящие деревья не являются самоподобными деревьями с почти заполняющей пространство корой. В самом деле, самоподобие требует выполнения равенства Д = £>, а размерность Е почти заполняющей пространство структуры должна быть близка к Е = 3.

Иными словами, во всех случаях, когда выполняется вышеприведенное соотношение, величина Д представляет собой новый параметр в дополнение к размерности £>; мы будем называть этот новый параметр диаметрическим показателем. Его рассматривали очень многие люди — в большинстве случаев независимо друг от друга — в этом можно убедиться, взглянув хотя бы на список литературы в [568]. В этой главе показано, что для бронхов Д ~ 3. Показатель Д дерева артерий равен приблизительно 2,7, а для настоящих деревьев он близок к значению, указанному Леонардо, Д = 2. Ширина рек также регулируется показателем Д = 2. Кроме того, мы рассмотрим здесь некоторые физические, физиологические и геометрические аспекты величины Д.