<1 Параразмерность. Во «Фракталах» 1977 г. я называл показатель Д параразмерностью (от греческого тгара «рядом, около»), но я больше не настаиваю на употреблении этого термина. Функции величины Д вообще весьма туманны: в одних случаях она является размерностью, в других — нет. Аналогичное поведение демонстрирует показатель в [29]; см. также главу 39. ►

ДЕРЕВО БРОНХОВ В ЛЕГКИХ

Первый пример: деление воздушных трубок в легких человека во всех практических отношениях самоподобно, причем Д = Е, а Е ~ Е = 3.

Внутреннюю структуру легкого вряд ли можно назвать хорошо знакомой широкому кругу людей, поэтому было бы поучительно вставить в этом месте фотографию реального легкого (такие фотографии можно найти, например, в [585] или в [84]), однако я установил для себя правило ограничиться в данном эссе моделями (и это, пожалуй, единственный случай, когда я сожалею об этом своем решении). Значит, придется обойтись словесным описанием. Представьте себе, что мы заполнили все бронхи и бронхиолы легкого жидкой пластмассой, а после того, как пластмасса затвердела, удалили ткани. В результате мы получим чрезвычайно разветвленное дерево, которое заполняет легкое с такой густотой, однородностью и непроницаемостью для взгляда, какой

226

Немасштабируемые фракталы о V

не достигает ни одно настоящее дерево. Между двумя первыми разветвлениями, которые нас пока не касаются, и тремя последними, ведущими к альвеолам (о которых мы говорили в главе 12), имеется еще пятнадцать последовательных разветвлений, происходящих с поразительной правильностью.

По данным Вайбеля [585], отрезки бронхов в первом приближении подобны друг другу, и Д ~ 3, Воздушный поток представляет собой конкретную величину, разделяющуюся между разветвляющимися бронхами, и поскольку воздушный поток в трубе равен площади сечения трубы, умноженной на скорость движения воздуха, получается, что скорость изменяется пропорционально с1А~2: при вхождении в более тонкие бронхи воздух замедляется.

Строгое равенство Д = 3 весьма важно. Первая интерпретация основана на рассуждениях Мюррея [439], следующим образом представленных в [568] (с. 954 в издании 1942 г. или 129 в издании 1961 г.): «[Р]ост площади поверхности бронхов вскоре приводит к значительному увеличению трения и уменьшению скорости проходящего по ним [газа]; следовательно, ветви должны быть более вместительными, чем может показаться на первый взгляд. Вопрос заключается уже не во вместительности, а в сопротивлении бронхов; а ответ в общих чертах таков: условием наименьшего возможного сопротивления во всей системе целиком является неизменность отношения сопротивления к поперечному сечению на всех участках системы, как до, так и после разветвления. Суммарное поперечное сечение отходящих от ствола ветвей должно быть, таким образом, больше, чем сечение самого ствола, в соответствии с возрастающим сопротивлением. Приблизительный вывод, хорошо известный людям, изучающим гидродинамику [современный подход излагается в [224] и [606]], состоит в том, что сопротивление минимально, и система работает в оптимальном режиме» тогда, когда коэффициент ветвления по всей системе равен 21/3 ~ 1, 26.