ФРАКТАЛЬНЫЕ КРОНЫ

До сих пор мы полагали, что деревья, изображенные на рис. 223, пусть едва-едва, но все же избегают самокасаний. На самом же деле, концы ветвей этих деревьев асимптотически касаются друг друга. В результате множество концов ветвей перестает быть пылью с Вт = 0 и становится кривой с Вт = 1 без малейшего изменения фрактальной размерности. Для описания этого нового класса фрактальных кривых я предлагаю термин расширенные фрактальные кроны. Заметим, что длина тени такой кроны возрастает с увеличением В.

Кривую, ограничивающую открытую область снаружи получающейся в результате фигуры, назовем просто «фрактальной кроной». Благодаря отсутствию «складок», присущих расширенной кроне, размер-

16 о Деревья. Скейлинговые остатки. Неоднородные фракталы 221

ность этой кривой не дотягивает до D на величину, которая возрастает с увеличением D.

Поскольку для деревьев жизненно важен солнечный свет, ветви, заканчивающиеся в складках расширенной фрактальной кроны, скорее всего, засохнут. Садовник может либо позволить каким-то ветвям вырасти, а затем засохнуть из-за отсутствия света, либо составить более сложную программу, которая запретит расти именно этим ветвям. Я предпочел бы более простую программу.

Когда D < 1, слияние пыли с размерностью D в кривую невозможно. Если попытаться добиться самокасания посредством уменьшения угла в между ветвями, то цель будет достигнута лишь тогда, когда угол станет равным 0 и дерево стянется в интервал. Если же пойти другим путем и зафиксировать длину тени дерева, а самокасания добиваться посредством вытягивания ветвей вверх, то цель не будет достигнута никогда: в пределе из дерева получится комбинация линейной канторовой пыли С и свисающих из каждой точки С полупрямых.

ДЕРЕВЬЯ БЕЗ ОСТАТОЧНЫХ ЧЛЕНОВ

Многообразие фрактальных деревьев не сводится к тем формам, которые мы рассмотрели в предыдущих разделах. Вспомним, например, конструкцию, описанную на с. 202. А теперь возьмем в качестве кохова генератора крест, ветви которого имеют следующие длины: гв (верхняя), гн (нижняя), Гб (боковые), причем выполняется равенство г2 + г2 + + 2r| < 1. Каждая ветвь получившегося фрактального дерева, какой бы малой она ни была, в изобилии окружена подветвями. А если исключить корневую точку, то такие деревья масштабно-инвариантны без остатка.