Субфрактальные деревья. В случае 0 < О < 1 линейная мера (совокупная длина) всего дерева конечна и положительна, так что его фрактальная размерность неизбежно равна 1. Следовательно, О = От, т. е. такое дерево не является фрактальным.

Тем не менее, если подобрать единицы измерения таким образом, чтобы длина ствола составила 1 — 2г, то ветви (рассматриваемые как открытые интервалы) можно будет разместить вдоль пустот линейной канторовой пыли С, которая занимает интервал [0, 1] и характеризуется теми же значениями N = 2 и г, что и множество концов ветвей. Аналогичным образом, на множестве С можно разместить и сами концы

220

Немасштабируемые фракталы о V

ветвей. Получается, что интервал [0, 1] целиком заполняется отображениями точек нашего дерева. Не отображаются только те точки, на которых держатся ветви. Эти точки образуют счетное остаточное множество.

Вспомним о замечании, сделанном нами по поводу чертовой лестницы на рис. 125 — ее форма необычна, но фракталом она не является. Если важность этих форм будет возрастать и далее, им может понадобиться особое и тщательно выбранное название. Пока же остановимся на субфракталах.

В качестве последнего эксперимента заменим прямолинейные ветви фрактальными кривыми с размерностью В* > 1. Когда В < В*, фрактальные свойства дерева определяются ветвями, а все дерево целиком представляет собой фрактал с размерностью В*. В случае же О > О* наше дерево будет фракталом с размерностью О.

НЕОДНОРОДНЫЕ ФРАКТАЛЫ

Думаю, настала пора вводить новое определение. Фрактал Т называется однородным, если все множества, полученные в результате пересечения Т с диском или шаром, центр которого принадлежит Т, имеют одинаковую топологическую (-От) и фрактальную (Б > Вт) размерности.

Очевидно, что кривые Коха, канторова пыль, разветвленные кривые и т. д. являются однородными фракталами. А остовы деревьев с В > 0 из предыдущей главы следует отнести к фракталам неоднородным.

Вообще говоря, деревья могут считаться фракталами только отчасти: пересечение дерева и достаточно малого диска, центр которого принадлежит ветви, не является фракталом, но состоит из одного или нескольких интервалов.